raíces primitivas de la unidad

Question

Cómo demostrar que si $\theta _1,\theta _2,\theta _3$ sean los argumentos de las raíces primitivas de la unidad, $\sum \cos p\theta = 0$ cuando $p$ es un número entero positivo menor que $\dfrac {n} {abc\ldots k}$ donde $a, b, c, \ldots, k$ son los diferentes primos constituyentes de n y cuando $p=\dfrac {n} {abc\cdots k}$ , $\sum \cos p\theta = \dfrac {\left( -\right)^\mu n} {abc\cdots k}$ donde $\mu$ es el número de los primos constituyentes.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Aquí es donde me quedé atascado esperaba una prueba directa a partir de la LHS de $\sum \cos p\theta = 0$ .

Intento de solución

Como sabemos, el número de raíces primitivas (raíces cuya potencia da todas las raíces) es el número de números enteros (incluida la unidad) menores que n y primos de n. Por lo tanto, obtenemos este número de la función totient o phi de Euler.

En la primera parte del problema se nos pide que supongamos $0 < p < \dfrac {n} {abc\ldots k}$ .

Así que aplicando la expansión en serie de Taylor al LHS obtenemos $\sum _{i=1}^{i=\varphi \left( n\right) }\cos p\theta _{i} = \sum _{i=1}^{i=\varphi \left( n\right) }\left( 1-\dfrac {\left( p\theta _{i}\right) ^{2}} {2!}+\dfrac {\left( p\theta _{i}\right) ^{4}} {4!}-...\right) $

Combinando los términos de varias expansiones obtenemos $\sum _{i=1}^{i=\varphi \left( n\right) }\cos p\theta _{i} = \varphi \left( n\right) -\dfrac {p^{2}} {2!}\sum _{i=1}^{i=\varphi \left( n\right) }\theta _{i}^{2} + \dfrac {p^{4}} {24}\sum _{i=1}^{i=\varphi \left( n\right) }\theta _{i}^{4} - ...$

No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí, aunque el patrón de signos alternos necesarios para el segundo resultado están empezando a aparecer. Agradecería cualquier pista o indicación sobre resultados relacionados con argumentos de raíces primitivas.

Answer 1

Sólo un poco de ayuda.

Si $\zeta_k=e^\frac{2\pi ik}{n}$ es una primitiva $n^\text{th}$ raíz de la unidad para $n\in\mathbb{Z}^+$ entonces $k\in\mathbb{Z}$ es relativamente primo de $n$ . Además, $\zeta_j=\zeta_k\iff j\equiv k\pmod n$ . Por tanto, el conjunto de todas las primitivas $n^\text{th}$ raíces de la unidad está parametrizado por el conjunto $K$ de todos $1\le k<n$ relativamente primo a $n$ es decir, el sistema de residuos reducido módulo $n$ que puede identificarse con $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ .

Ahora $s(n,p)=\zeta_k^p=e^\frac{2\pi ikp}{n}=\cos\frac{2\pi kp}{n}+i\sin\frac{2\pi kp}{n}$ y $\Re\,\sum\zeta_k^p=\sum\cos\frac{2\pi kp}{n}$ por lo que podemos esperar que la suma compleja completa sea cero o no cero en las condiciones respectivas. Esto dependerá de lo que ocurra con los residuos $k$ modulo $n$ cuando se multiplican por $p$ . Para $p$ relativamente primo a $n$ se permutan ( $pK=K$ ), de modo que la suma es cero (en el plano complejo, tanto la parte real como la imaginaria). Sin embargo, si $d=\gcd(p,n)>1$ entonces $\zeta_k^p$ es una raíz primitiva de orden $\frac{n}{d}$ . Entonces, ¿cómo obtenemos una suma compleja de cero a partir de raíces primitivas? Una forma es sumar todos los vértices del regular $n$ -gon, es decir, todos $n^\text{th}$ raíces de la unidad: $\sum_{j=0}^{n-1}\zeta_j=0$ . Sin embargo, pueden reagruparse por su orden: $\sum_{d|n}s(d,1)=0$ en función de las sumas $s(n,p)$ definido anteriormente. Qué es $\sum_{d|n}s(d,p)$ ?

Sea $r=\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Radical\_of\_an\_integer}{\\text{rad}}\\,n$ $=\prod_{q\mid n}q$ sea el producto de todos los primos $q$ dividiendo $n$ (también llamado radical o núcleo libre de cuadrados de $n$ ). ¿Qué nos dice cuando el número entero positivo (pero no necesariamente primo) $p$ es inferior a $\frac{n}r$ ? O igual a $\frac{n}r$ ? ¿Qué nos dice eso sobre $\frac{n}p$ en relación con $r$ ? Debe ser inferior a $r$ y por tanto relativamente primo de al menos un primo $q$ dividiendo $r$ y $n$ .

También puede encontrar el Fórmula de inversión de Möbius útil; su $\mu$ es $\mu(r)$ , donde mi $\mu$ es el Función de Möbius .