¿Por qué si $C(t)\equiv A(t)B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t)$ entonces $\dot C(0)=[M,N]$ ?

Question

Sabemos que el conmutador de un álgebra de Lie se define como $$[M,N]=MN-NM.$$ He visto Sobre la relación entre los conmutadores de un grupo de Lie y su álgebra de Lie. Ha aportado una prueba de ello. Pero yo estaba leyendo el libro Álgebras de Lie: Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y aplicaciones en física Pt. 1. En ese libro se menciona que si $C(t)=A(t)B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t)$ entonces $$ \dot{C}(0)=MN-NM,\ \text{where } M=\dot{A}(0)\ \text{and } N=\dot{B}(0) . $$ Pero al calcular la derivada de $C(t)$ Estoy recibiendo \begin{align*} C^\prime(t) & =A(t)^\prime B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t)+A(t)B(t)^\prime A^{-1}(t)B^{-1}(t)+A(t)B(t)A^{-1}(t)^\prime B^{-1}(t)+A(t)B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t)^\prime\\ C^\prime(0) &= M+N-M-N=0 \end{align*} Por favor que alguien me diga donde estoy cometiendo el error y como conseguiré la relación del conmutador.

Answer 1

Es necesario ampliar a segundo orden en $t$ . Intenta escribir, por ejemplo $A(t) = e^{tM} \approx I + tM + \frac{t^2}{2}M + ... $ y ampliar $ABA^{-1}B^{-1}$ de segundo orden.