Sí: en la nueva versión de la pregunta, con la palabra "completa" añadida, se trata efectivamente de una caracterización de la línea real.
Para generar la mayor confusión posible, pero también por comodidad, vamos a dar el nombre de "espacio de Banakh" a cualquier espacio métrico que satisfaga la condición de tu pregunta con la palabra "completo" suprimida.
Teorema: Todo espacio completo de Banakh es isométrico a $\mathbb R$ (con la métrica habitual).
Esto se deduce fácilmente de:
Lema: Todo espacio de Banakh (completo o no) contiene una copia isométrica de un subconjunto denso de $\mathbb R$ .
Para demostrar el teorema a partir del lema, supongamos $(X,d)$ es un espacio completo de Banakh. Suponiendo el lema, existe una copia isométrica de algún denso $Q \subseteq \mathbb R$ en $X$ . Porque $(X,d)$ se ha completado, el cierre de esta copia de $Q$ en $X$ es una copia isométrica de la terminación de Cauchy de $Q$ que es $\mathbb R$ . Que el mapa $r \mapsto \bar r$ sea una incrustación isométrica de $\mathbb R$ en $X$ . Hemos terminado si podemos demostrar que $X = \{ \bar r :\, r \in \mathbb R \}$ . Buscando una contradicción, supongamos que hay alguna $x \in X \setminus \{ \bar r :\, r \in \mathbb R \}$ y que $a = d(x,\bar 0)$ . Pero entonces hay (al menos) tres puntos en $X$ a distancia $a$ de $\bar 0$ : $x$ , $\bar a$ y $- \bar a$ contradiciendo que $X$ es un espacio Banakh.
Ahora demostraremos el lema. Construiremos una incrustación de un subconjunto denso de $\mathbb R$ en $X$ Una pieza a la vez. El primer paso es encontrar una copia isométrica de $A = \{0\} \cup \{2z+1 :\, z \in \mathbb Z\}$ (los enteros impar más $0$ ) en el interior $X$ .
Para empezar $\bar 0$ cualquier punto de $X$ . Hay exactamente dos puntos a la distancia $1$ de $\bar 0$ : llamémoslas $\bar 1$ y $-\bar 1$ (no importa qué punto recibe cada etiqueta). Por la propiedad Banakh, $d(-\bar 1,\bar 1) = 2$ .
A continuación, observe que hay exactamente dos puntos en $X$ con distancia $2$ de $\bar 1$ . Ya tenemos un nombre para uno de estos puntos, $-\bar 1$ llamemos al otro $\bar 3$ . Por la propiedad Banakh, $d(-\bar 1,\bar 3) = 4$ . Así que tenemos: $$d(-\bar 1,0) = d(\bar 0,\bar 1) = 1,\ d(-\bar 1,\bar 1) = d(\bar 1,\bar 3) = 2,\ d(-\bar 1,\bar 3) = 4.$$ Para calcular $d(\bar 0,\bar 3)$ utilizamos la desigualdad del triángulo dos veces: $$d(\bar 0,\bar 3) \leq d(\bar 0,\bar 1)+d(\bar 1,\bar 3) = 3,$$ $$d(\bar 0,\bar 3) \geq d(-\bar 1,\bar 3)-d(-\bar 1,\bar 0) = 3.$$ Por lo tanto $d(\bar 0,\bar 3) = 3$ y tenemos una incrustación isométrica de $\{-1,0,1,3\}$ en $X$ .
Para el siguiente paso, podemos añadir $-3$ de la misma manera que nosotros $3$ . Es decir, observe que hay exactamente dos puntos en $X$ con distancia $2$ de $-\bar 1$ . Uno de estos puntos es $\bar 1$ y llamamos a la otra $-\bar 3$ . Por la propiedad Banakh, $d(-\bar 3,\bar 1) = 4$ . Utilizando la desigualdad del triángulo como arriba, podemos obtener $d(-\bar 3,\bar 0) = 3$ . Por último, porque $d(-\bar 3,\bar 1) = 4 \neq 2 = d(\bar 3,\bar 1)$ tenemos $-\bar 3 \neq \bar 3$ pero ambos están a una distancia de tres de $\bar 0$ . Así por la propiedad Banakh, $d(-\bar 3,\bar 3) = 6$ . Así obtenemos una incrustación isométrica de $\{-3,-1,0,1,3\}$ en $X$ .
A continuación añadimos $5$ y $-5$ de forma similar. (No obstante, no me limitaré a decir "similar", sino que entraré en detalles). Hay dos puntos a distancia $2$ de $\bar 3$ . Uno de ellos es $\bar 1$ llamemos al otro $\bar 5$ . La propiedad Banakh da $d(\bar 1,\bar 5) = 4$ . Pero también sabemos ya que $d(-\bar 3,\bar 1) = 4$ por lo que otro uso de la propiedad Banakh da $d(-\bar 3,\bar 5) = 8$ . Una vez que conozcamos tanto $d(-\bar 3,\bar 5)$ y $d(\bar 3,\bar 5)$ (es decir, la distancia desde $\bar 5$ al menor y al mayor de nuestros puntos previamente construidos) la desigualdad triangular rellena todas las demás distancias de los puntos previamente construidos a $\bar 5$ . Por ejemplo, $$d(\bar 0,\bar 5) \leq d(\bar 0,\bar 3)+d(\bar 3,\bar 5) = 5,$$ $$d(\bar 0,\bar 5) \geq d(-\bar 3,\bar 5)-d(-\bar 3,\bar 0) = 5.$$ Cálculos similares dan $d(-\bar 1,\bar 5) = 6$ por lo que tenemos una incrustación isométrica de $\{-3,-1,0,1,3,5\}$ en $X$ .
Siguiente añadir en $-5$ de la misma manera que nosotros $5$ . Es decir, observe que hay exactamente dos puntos en $X$ con distancia $2$ de $-\bar 3$ . Uno de estos puntos es $-\bar 1$ y llamamos al otro $-\bar 5$ . Las distancias desde $-\bar 5$ à $-\bar 1, \bar 0, \bar 1, \bar 3$ se calculan igual que para $\bar 5$ . Entonces observamos que $-\bar 5 \neq \bar 5$ (porque sus distancias a $\bar 1$ son diferentes) pero ambos son distancia $5$ de $\bar 0$ y esto implica $d(-\bar 5,\bar 5) = 10$ . Así obtenemos una incrustación isométrica de $\{-5,-3,-1,0,1,3,5\}$ en $X$ .
Continuando de esta manera, podemos, dos puntos a la vez, construir una incrustación isométrica de $A$ en $X$ denotado por el mapa $z \mapsto \bar z$ .
Una vez hecho esto ¡hazlo otra vez! Por el mismo método exacto, podemos encontrar una incrustación isométrica de $\frac{1}{3} A$ (todos los múltiplos enteros Impares de $\frac{1}{3}$ Además $0$ ) en $X$ partiendo del mismo punto base $\bar 0$ como antes. Denotemos esta nueva incrustación por $z \mapsto \bar{\bar z}$ (así $\bar{\bar 0} = \bar 0$ ). Pero observe que $A \subseteq \frac{1}{3}A$ y, por la propiedad Banakh, para cada $a \in A \setminus \{0\}$ sólo puede haber dos puntos de $X$ a distancia $|a|$ de $\bar 0$ . Así $\{-\bar a,\bar a\} = \{-\bar{\bar a},\bar{\bar a}\}$ . De este modo vemos que $\{ \bar z :\, z \in A \}$ se incluye de forma natural en $\{ \bar{\bar z} :\, z \in \frac{1}{3}A \}$ .
Lo mismo ocurre con $\frac{1}{3^k}$ en lugar de $\frac{1}{3}$ para cualquier $k$ . Hacer esto para cada $k$ y uniendo las cosas de la forma obvia, obtenemos nuestra incrustación isométrica de un subconjunto denso de $\mathbb R$ en $X$ . (Es decir, el conjunto de todas las fracciones con una potencia de $3$ en el denominador).
