$A$ un dominio integral, $a,b,c\in A$. ¿Si $d$ es un máximo común divisor $a$ y $b$, es verdad que $cd$el % es un máximo común divisor $ca$ y $cb$? Sé que es cierto si $A$ es una UFD, pero no puede pensar en un contraejemplo en general situación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí es lo mejor que uno puede decir que para el arbitrario integral de dominios:
LEMA $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe.
Prueba de $\rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$
Generalmente, $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe, como es más perspicaz visto como el fracaso de
EUCLIDES DEL LEXEMA $\rm\quad a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b)=1\ \Rightarrow\ a\ |\ c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe.
Prueba de $\ \ $ Si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\ a\ |\ ac,bc\ \Rightarrow\ a\ |\ (ac,bc) = (a,b)\:c = c\ $ por el Lema.
Por lo tanto, si $\rm\: a,b,c\: $ dejar de cumplir con el Lema de Euclides $\Rightarrow\:$, es decir, si $\rm\ a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b) = 1\ $ pero $\rm\ a\nmid c\:$, luego, enseguida se deduce que el mcd $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe. Para el caso especial $\rm\:a\:$ es un átomo (es decir, irreductible), la implicación se reduce a: atom $\Rightarrow$ prime. Así que basta encontrar un átomo nonprime con el fin de exponer un par de elementos cuya gcd no existe. Esta tarea es un poco más simple, por ejemplo, para $\rm\ \omega = 1 + \sqrt{-5}\ \in\ \mathbb Z[\sqrt{-5}]\ $ tenemos que el átomo de $\rm\: 2\ |\ \omega'\: \omega = 6\:,\:$ pero $\rm\ 2\nmid \omega',\:\omega\:,\:$ $\rm\:2\:$ no es primo. Por lo tanto podemos deducir que el mcd $\rm\: (2\:\omega,\ \omega'\:\omega)\ =\ (2+2\sqrt{-5},\:6)\ $ no existen en $\rm\ \mathbb Z[\sqrt{-5}]\:$.
Tenga en cuenta que si el mcd $\rm\: (ac,bc)\ $ no existe, entonces esto implica que el ideal de $\rm\ (ac,bc)\ $ no es principal. Por lo tanto hemos constructivamente deduce que el fracaso de Euclides del lema de inmediato, los rendimientos de un inexistente mcd y un nonprincipal ideal.
Que el $\Rightarrow$ en Euclid del lema implica que los Átomos son Primos $\rm(:= AP)$ es denotado $\rm\ D\ \Rightarrow AP\ $ en la lista de dominios estrechamente relacionado con MCD dominios en mi post aquí. Allí encontrará enlaces para más literatura sobre dominios estrechamente relacionado con MCD dominios. Véase, en particular, la referencia completa de la encuesta por D. D. Anderson: MCD dominios, Gauss lema, y el contenido de los polinomios, 2000.
Véase también mi post aquí para el general universal definiciones de $\rm GCD,\: LCM$ y para más información sobre cómo ese $\iff$ definiciones de habilitar la mancha de pruebas, y ver aquí otro ejemplo sencillo de.
