En primer lugar, como KCd escribió en los comentarios, no es generalmente cierto que $\operatorname{Aut}(G \times H) \cong \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$ incluso para grupos cíclicos $G, H$ ; sólo tenemos necesariamente la contención aparente $\operatorname{Aut}(G \times H) \supseteq \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$ .
Ejemplo ( $G = H = \Bbb Z_2$ ). Tenemos $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_2 \times \Bbb Z_2) \cong S_3$ (aquí $S_3$ actúa por permutaciones del $3$ elementos no identitarios), mientras que $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_2) \times \operatorname{Aut}(\Bbb Z_2)$ es trivial. (En términos más generales, $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_p^k) \cong \operatorname{GL}(k, \Bbb Z_p)$ mientras que $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_p)^k$ consiste únicamente en los elementos diagonales de $\operatorname{GL}(k, \Bbb Z_p)$ .)
Sin embargo, es cierto que $\operatorname{Aut}(G \times H) \cong \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$ en la situación especial que $|G|, |H|$ son coprimos, lo que en particular se aplica a nuestro caso, $G = \Bbb Z_3$ , $H = \Bbb Z_5$ .
Caracterización de los automorfismos (de grupo) de $\Bbb Z_n$ . Dado que los grupos $\Bbb Z_n$ son cíclicos, es decir, generados por $\bar 1$ cualquier automorfismo $\phi \in \operatorname{Aut}(\Bbb Z_n)$ se caracteriza por el valor $$\bar a := \phi(\bar 1) .$$ Dicho de otro modo, (en términos de la multiplicación habitual del anillo de $\Bbb Z_n$ ) $\phi$ no es más que la multiplicación por $\bar a = \phi(\bar 1)$ . Se puede comprobar que este mapa de multiplicación es un automorfismo si (de hecho, una biyección si) $a$ y $n$ son coprimos, por lo que podemos identificar $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_n)$ con el grupo $\Bbb Z_n^\times$ de unidades multiplicativas del anillo $\Bbb Z_n$ es decir, el conjunto de elementos de $\Bbb Z_n$ con un inverso multiplicativo.
Así pues, del comentario que sigue al ejemplo se desprende que $$\operatorname{Aut}(\Bbb Z_3 \times \Bbb Z_5) \cong \operatorname{Aut}(\Bbb Z_3) \times \operatorname{Aut}(\Bbb Z_5) \cong \Bbb Z_3^\times \times \Bbb Z_5^\times .$$
Ahora, es cierto para prime $p$ que $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_p) \cong \Bbb Z_p^\times \cong \Bbb Z_{p - 1}$ y así $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_3 \times \Bbb Z_5) \cong \Bbb Z_2 \times \Bbb Z_4$ pero esta última notación puede crear confusión, y en la mayoría de las situaciones (¿todas?) se utiliza la notación de grupo de multiplicación $\Bbb Z_n^\times$ será más clara. En cualquier caso bajo ese isomorfismo, por ejemplo,
- $(\bar 0, \bar 0)$ es el automorfismo trivial,
- $(\bar 1, \bar 0)$ es la involución (es decir, el automorfismo cuyo cuadrado es la identidad), $(\bar x, \bar y) \mapsto (-\bar x, \bar y)$ y
- $(\bar 1, \bar 1)$ puede identificarse con $(\bar x, \bar y) \mapsto (-\bar x, \bar 2 \cdot \bar y)$ .
(De hecho, $\Bbb Z_5^\times \cong \Bbb Z_4$ tiene dos automorfismos, por lo que podemos identificar $\bar 1 \in \Bbb Z_4$ con cualquier automorfismo de $\Bbb Z_5$ de orden $4$ a saber $\bar y \mapsto \pm \bar 2 \cdot \bar y$ .)
