Acción colectiva $\phi: G \times X \rightarrow X$ de grupo $G$ generado por elementos de orden $7$ y $11$ sur $X$ con $|X|=8$ no es transitivo

Question

Sea $G=\langle a,b \rangle$ con $ord(a)=7, ord(b)=11$

$|X|=8$

Demostrar que la acción de grupo $$\phi: G \times X \rightarrow X$$ $$(g,x) \mapsto g.x$$ i transitivo

Sé que $\phi$ es transitiva si y sólo si existe una única órbita.

También sé que la longitud de la órbita es igual a $|G/G_x|$ donde $G_x$ es el estabilizador de $x$ .

Sé que dicho estabilizador es un subgrupo de $G$ y he leído que $|G/G_x|=|G| / |G_x|$ pero, ¿no sería necesario $G_x$ ser normal?

Además, ¿cuál es el orden de $G$ ? Ingenuamente pensaría que sí $77$ pero no estoy seguro de si esto puede deducirse del orden de los dos generadores. Por lo que he leído la respuesta es no. (La referencia era el problema de los grupos ) Por favor, corríjanme si me equivoco.

Estoy luchando con esta tarea porque no tengo una descripción de lo que $\phi$ hace a $X$ y no estoy seguro del orden de $G$ . Si tuviera la orden de $G$ , tendría candidatos a las órdenes de $G_x$ y, por tanto, para las longitudes de las órbitas. (Si la fórmula de los grupos factoriales se aplica a los estabilizadores).

Cualquier sugerencia o aclaración sobre la tarea será bienvenida.

Answer 1

La imagen de $G$ es un subgrupo de $Sym(8)$ que tiene cardinalidad $8!$ ya que $8!$ y $11$ son coprimos y el orden de la imagen de $b$ debe dividir $8!$ esta imagen es el elemento neutro, por lo que la imagen de $G$ tiene como máximo 7 elementos

Answer 2

Mi sugerencia sería reinterpretar la noción de acción de grupo. En lugar de pensar en ella como un mapa $\phi : G\times X\to X$ Piénsalo como un mapa $G\to \newcommand\Sym{\operatorname{Sym}}\Sym(X)$ . Entonces, como la cardinalidad de $X$ es 8, tenemos que el mapa es $G\to S_8$ lo que significa que $b\mapsto 1$ ya que el orden de $b$ es $11$ que no divide $8!$ . Así, la imagen de $G$ en $S_8$ es trivial o cíclica de orden 7. Ninguno de los cuales puede actuar transitivamente.