Sea $f(x) = \tan x - x$ para todos $x$ tal que $|x| < \pi/2.$
Entonces $f(-x) = -f(x)$ para todos $x,$ por lo que para demostrar que $|f(x)| \leqslant 8x^2$ para todos $x$ tal que $|x| \leqslant \pi/3,$ basta con probarlo para todos $x$ tal que $0 < x \leqslant \pi/3.$
Tenemos $f'(x) = \sec^2 x - 1 > 0$ para todos $x$ tal que $0 < x < \pi/2,$ y $f(0) = 0,$ así que $f(x) > 0$ para todos $x$ tal que $0 < x < \pi/2.$
Por lo tanto, basta con demostrar $$ f(x) < 8x^2 \quad \left(0 < x \leqslant \frac\pi3\right). $$
Las conocidas series de Maclaurin (ambas convergen para todo $x$ ) \begin{gather*} \cos x = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \\ \sin x = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gather*} son alternantes para todos $x$ tal que $0 < x \leqslant \sqrt2,$ porque el cociente negado de términos sucesivos de la serie coseno es $x^2/((2n+1)(2n+2)) \leqslant 1,$ y el cálculo del seno es similar.
Porque $\pi/3 < \sqrt2,$ por lo tanto tenemos $\sin x < x$ y $\cos x > 1 - x^2/2$ para todos $x$ tal que $0 < x \leqslant \pi/3.$ Por lo tanto, para todos estos $x,$ $$ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} - x < \frac{x}{1 - x^2/2} - x = \frac{x\cdot x^2}{2 - x^2} \leqslant \frac{(\pi/3)x^2}{2 - (\pi/3)^2} = \frac{3\pi x^2}{18 - \pi^2} < \frac{5x^2}4, $$ porque $3\pi < \pi^2 < 10.$
Adenda. Creo que merece la pena trabajar un poco más, con el fin de demostrar la desigualdad más fuerte $$ |\tan x - x| \leqslant \frac{17x^2}{21} \quad \left(|x| \leqslant \frac\pi3\right). $$
Prueba.
Supongamos que $0 < x \leqslant \pi/3.$ Entonces, tomando dos términos más en la serie seno, $$ f(x) < \frac{x - x^3/6 + x^5/120}{1 - x^2/2} - x = \frac{x^3/3 + x^5/120}{1 - x^2/2} = Ax^2, $$ donde $$ A = \frac{x/3 + x^3/120}{1 - x^2/2} = \frac{x(1 + x^2/40)}{3(1 - x^2/2)}. $$ Porque $\pi^2 < 10$ y $\pi < 22/7,$ $$ A < \frac{22\cdot(1 + 1/36)}{7\cdot9\cdot(1 - 5/9)} = \frac{22\cdot37}{7\cdot4\cdot36} = \frac{407}{504} < \frac{408}{504} = \frac{17}{21}. $$
