¿Es Pitágoras la relación solamente con sostener entre $\cos$ y $\sin$?

Question

Pitágoras dice que $\cos^2 \theta + \mathrm{pecado}^2\theta = 1$ para todo real $\theta$.

(Vagos) Pregunta. Es esta la única relación entre las funciones $\cos$ y $\sin$?

Más precisamente:

Deje que $\langle \cos\sin\rangle$ denotar la intersección de todos los subalgebras de $\mathbb{R}$-álgebra de todas las funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con $\{\cos\sin\}$. (De forma predeterminada, todos mis álgebras son unital, asociativa y conmutativa.) Vamos a $Un$ denotar el $\mathbb{R}$-álgebra presentado por los generadores de $\{c,s\}$ y la relación $c^2+b^2=1$. No hay una única $\mathbb{R}$-álgebra homomorphism $\varphi : \rightarrow \langle \cos\sin\rangle$ da de la siguiente manera. $$\varphi(c) = \cos \,\,\varphi(s) = \sin$$

Sabemos que $\varphi$ es surjective.

Pregunta. Es $\varphi$ inyectiva?

Así que considere $f \in A$. Entonces $f = \sum_{i,j : \mathbb{N}}a_{ij}s^ic^i$ para ciertas decisiones de $a_{ij} : \mathbb{R}$. Ahora supongamos que $\varphi(f)=0$. Queremos demostrar que $f=0$. Ideas, cualquier persona?

Answer 1

Si entiendo bien, usted se está preguntando si el $\mathbb R$-álgebra generada por $\sin$ y $\cos$, es decir, $\mathbb R[\pecado,\, \cos]$ es isomorfo a $\mathbb R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$.

Considerar la surjective de morfismos $\varphi:\mathbb R[X,Y]\to\mathbb R[\pecado,\,\cos]$ definida por $\varphi(X)=\sin$, $\varphi(Y)=\cos$. Entonces $(X^2+Y^2-1)\subseteq\ker\varphi$. Por el contrario, dejar que $f\in\ker\varphi$. Podemos escribir $f=(X^2+Y^2-1)g+r$, donde $\deg_Xr\le 1$, entonces $r=a(Y)+b(Y)X$. Por otra parte, $a(\cos)+b(\cos)\pecado=0$. Esto significa que $a(\cos x)+b(\cos x)\sin x=0$ para todo $x\in\mathbb R$. El cambio de $$ x $x$ obtenemos $a(\cos x)-b(\cos x)\sin x=0$ para todo $x\in\mathbb R$, entonces $a(\cos x)=0$ para todo $x\in\mathbb R$ y $b(\cos x)=0$ para todo $x\in\mathbb R$, $x\ne k\pi$. Dado que $a,b$ son polinomios esto es suficiente para concluir $a=b=0$ y por tanto $r=0$. Por lo tanto, demostrado que $\ker\varphi=(X^2+Y^2-1)$.

Answer 2

Esto es suficiente para mostrar que todas las funciones de la forma $x \mapsto P_0(\cos x)+\sin x P_1(\cos x)$ son cero, siempre que $P_0$ y $P_1$ son polinomios no tanto igual a cero.

Supongamos que tenemos alguna relación de la forma

$$P_0(\cos x)+\sin x P_1(\cos x)\equiv0 \, .$$

Entonces $$ \sen x= -\frac{P_0(\cos x)}{P_1(\cos x)} $$ cuando $P_1(\cos x) \neq 0$. Si $P_1$ es un polinomio distinto de cero, esto implica que $\sin x$ es par, lo cual es absurdo; mus $P_1 \equiv 0$.

Pero eso significa que nuestra relación se reduce a $P_0(\cos x) \equiv 0$; $\cos$ asume una infinidad de valores, de ello se sigue que $P_0 \equiv 0$.