Gráfico de aristas del politopo de un intervalo de Bruhat

Question

Sea $\Gamma$ sea un grupo Coxeter sobre algún conjunto generador $S$ con representación de reflexión $V$ . Entonces $\Gamma$ tiene dos órdenes parciales estándar, los órdenes débil y fuerte de Bruhat.

Además, si $\lambda \in V$ se elige genéricamente (cualquier órbita libre vale), entonces las relaciones de cobertura en orden débil vienen dadas exactamente por el gráfico de aristas del casco convexo de $\Gamma\cdot \lambda$ .

Sea $[u,v]$ sea un intervalo en orden de Bruhat fuerte. Sea el grafo de aristas del politopo $hull([u,v]\cdot \lambda)$ ¿se ha estudiado?

Por ejemplo, el politopo $hull([123,321] \cdot (1,2,3))$ es un hexágono, y la cubierta fuerte de Bruhat $231 > 132$ define una arista a través del centro de este hexágono, por lo que no es una cubierta débil. Mientras que el politopo $hull([132,321] \cdot (1,2,3))$ es un trapecio, uno de cuyos bordes conecta $231$ y $132$ .

EDIT: quizás debería admitir la geometría aquí. Si $\Gamma$ es un grupo de Weyl de un grupo de Lie $G$ -- y estoy feliz de hacer esta suposición, aunque quiero $G$ Kac-Moody -- y $V$ la red de pesos correspondiente, y $\lambda$ un peso dominante, entonces $hull(W\cdot \lambda)$ es el politopo de momentos para $G/B$ con el haz de líneas de Borel-Weil ${\mathcal L}_\lambda$ . En $G/B$ tenemos la variedad Richardson $\overline{BuB}/B \cap \overline{B_- vB}/B$ y $hull([u,v]\cdot \lambda)$ es el momento politopo de eso.

Answer 1

Por tipo $A$ véase el apéndice A del Kodama-Williams . Demuestran que todas las aristas $Hull([u,v]) \cdot \lambda$ corresponden a fuertes coberturas Burhat. También muestran que $Hull([u,v]) \cdot \lambda$ es la suma de Minkowski de los politopos $c_i Hull([u,v]) \cdot \alpha_i$ donde $\lambda = \sum c_i \alpha_i$ es la descomposición de $\lambda$ en raíces simples.

Ojeando las pruebas, creo que la segunda frase debería seguir siendo cierta en otros tipos. La primera frase, sin embargo, utiliza el hecho de que el orden débil y fuerte en $S_n/(S_k \times S_{n-k})$ coinciden, por lo que creo que esto no debe generalizarse.