$H_{0}^{1}(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ ?

Question

En un artículo veo que los autores utilizaron $H_{0}^{1}(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ donde $\Omega$ es un dominio abierto y acotado en $\mathbb{R}^N$ con límites suaves. Creo que esta incrustación es válida sólo para aquellos $N$ que satisfagan $4\leq 2^\star$ ( $2^\star=\frac{2N}{N-2}$ ), es decir, cuando $\Omega$ está en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^4$ . ¿Cómo podemos demostrar esta incrustación para dimensiones superiores?

Answer 1

El resultado general se denomina teorema de incrustación de Sobolev, que establece que $H_0^k$ está integrado en $L^q$ donde $$\frac{1}{q}=\frac{1}{2}-\frac{k}{n}$$ donde $n$ es la dimensión del espacio. Esto puede generalizarse aún más, véase la Wikipedia artículo.