Estimación $\sup_{n\in\mathbb N}\sum_{k=1}^n \frac{\cos kx-\cos(kx+\alpha k)}{k^2}$ .

Question

Yo estimaría $$\sup_{n\in\mathbb N}\sum_{k=1}^n \frac{\cos kx-\cos(kx+\alpha k)}{k^2}$$ donde $\alpha>0, x\in \mathbb R$ .

No sé cómo proceder. ¿Tiene alguna idea? Cualquier ayuda por favor.

Answer 1

Una estimación sencilla puede ser la siguiente $$\sum_{k\leq n}\frac{\cos\left(kx\right)-\cos\left(k\left(x+\alpha\right)\right)}{k^{2}}\leq2\sum_{k\leq n}\frac{1}{k^{2}}<\frac{\pi^{2}}{3}.$$ Pero si quiere una estimación más precisa, tenemos $$\sum_{k\leq n}\frac{\cos\left(kx\right)}{k^{2}}-\sum_{k\leq n}\frac{\cos\left(k\left(x+\alpha\right)\right)}{k^{2}}=\sum_{k\geq1}\frac{\cos\left(kx\right)}{k^{2}}-\sum_{k\geq1}\frac{\cos\left(k\left(x+\alpha\right)\right)}{k^{2}}-\sum_{n<k}\frac{\cos\left(kx\right)}{k^{2}}+\sum_{n<k}\frac{\cos\left(k\left(x+\alpha\right)\right)}{k^{2}}$$ y ahora nota $$-\psi^{(1)}\left(n\right)=-\sum_{n<k}\frac{1}{k^{2}}\leq\sum_{n<k}\frac{\cos\left(kx\right)}{k^{2}}\leq\sum_{n<k}\frac{1}{k^{2}}=\psi^{(1)}\left(n\right)$$ donde $\psi^{(n)}$ es la función poligamma, y observe que $\psi^{(1)}\left(n\right)$ es una función monótona decreciente. Por tanto, si $0\leq x\leq2\pi$ , $0\leq x+\alpha\leq2\pi$ utilizando la serie de Fourier $$\sum_{k\geq1}\frac{\cos\left(kx\right)}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi x}{2}+\frac{x^{2}}{4}$$ tenemos $$\frac{\pi\alpha}{2}-\frac{2\alpha x+\alpha^{2}}{4}-\psi^{(1)}\left(1\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\sum_{k\leq n}\frac{\cos\left(kx\right)-\cos\left(k\left(x+\alpha\right)\right)}{k^{2}}\right)\leq\frac{\pi\alpha}{2}-\frac{2\alpha x+\alpha^{2}}{4}+\psi^{(1)}\left(1\right).$$