Pregunta: "En geometría algebraica, ¿cuántas veces un haz de líneas tiene una conexión plana? Cuando tiene una conexión plana, ¿cuántas conexiones planas puede tener?".
Comentario: En otros campos/anillos distintos del campo de números complejos se obtienen resultados similares utilizando propiedades básicas del $\operatorname{Ext}$ y $\operatorname{Hom}$ functores: Si $\pi: X \rightarrow S:=Spec(A)$ es un esquema cualquiera y si $L\in Pic(X)$ es cualquier gavilla invertible, existe la secuencia Atiyah
$$A1.\text{ } 0 \rightarrow \Omega^1_{X/S} \otimes L \rightarrow J^1(L) \rightarrow L \rightarrow 0$$
que se divide si $L$ tiene una conexión. Se obtiene una clase de extensión
$$a(L) \in \operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(L, L\otimes \Omega^1_{X/S}) \cong $$
$$ \operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, L^*\otimes L\otimes \Omega^1_{X/S}) \cong \operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{O}_X, \Omega^1_{X/S}) \cong $$
$$ \operatorname{H}^1(X, \Omega^1_{X/S}).$$
Puede ver la imagen de la clase $a(L)=c_1(L)$ bajo los isomorfismos anteriores como la primera clase de Chern de $L$ . Por lo tanto $c_1(L)=0$ si $L$ tiene una conexión. El conjunto de conexiones en $L$ está parametrizado por el conjunto
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(L, L \otimes \Omega^1_{X/S}) \cong $$
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X,\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(L, L \otimes \Omega^1_{X/S})) \cong $$
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, L^*\otimes L \otimes \Omega^1_{X/S}) \cong $$
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \Omega^1_{X/S}) \cong \operatorname{H}^0(X, \Omega^1_{X/S}).$$
En términos más generales, si $E$ es cualquier gavilla de rango finito localmente trivial se obtiene una clase
$$a(E) \in \operatorname{H}^1(X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E) \otimes \Omega^1_{X/S}).$$
con las mismas propiedades. El "espacio-parámetro de las conexiones" es el conjunto
$$\operatorname{H}^0(X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E) \otimes \Omega^1_{X/S}).$$
Observación: Puede dejar que $S$ sea cualquier esquema base y los resultados anteriores siguen siendo válidos.
En el siguiente enlace se ofrece una secuencia de obstrucción para un general $E$ tener una conexión plana utilizando extensiones no abelianas de (gavillas de) álgebras de Lie-Rinehart:
¿Cuándo existen conexiones holomorfas planas?
En $E$ es una gavilla de rango finito localmente trivial con una conexión $\nabla$ existe una secuencia exacta
$$0 \rightarrow \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E) \rightarrow \Theta_X(E, \nabla) \rightarrow \Theta_X \rightarrow 0$$
que se divide si $E$ tiene una conexión plana. Por definición
$$ \Theta_X(E, \nabla):= \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E)\oplus \Theta_X$$
con la siguiente estructura de Lie:
Si $x,y \in \Theta(U)$ y $\phi, \psi \in \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E)(U)$ definir
$$ [(\phi,x),(\psi,y)]:=([\phi,\psi]+[\nabla(x), \psi]-[\nabla(y), \phi]+R_{\nabla}(x,y), [x,y]),$$
donde $R_{\nabla}$ es la curvatura de $\nabla$ .
Nota: Al añadir un posible $P$ a una conexión plana $\nabla$ no se deduce que la nueva conexión $\nabla+P$ es plana.
Por ejemplo: Si $X\subseteq \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}$ es una variedad cuasi proyectiva lisa con una ganga localmente trivial de rango finito $E$ con una conexión algebraica $\nabla$ se obtiene una clase de extensión
$$na(E,\nabla) \in \operatorname{Ext}^1(\Theta_X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E))$$
y existe un mapa canónico
$$c:\operatorname{Ext}^1(\Theta_X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E)) \rightarrow \operatorname{H}^1(X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E) \otimes \Omega^1_X),$$
con $na(E,\nabla)="0"$ si $E$ tiene una conexión algebraica plana $\nabla':=\nabla+P$ . Las dos clases $c(na(E,\nabla))$ y $a(E)$ viven en el mismo espacio vectorial. Cabe preguntarse si estas dos clases están relacionadas: Si $c(na(E,\nabla))$ es múltiplo de $a(E)$ se deduce lo siguiente $a(E)=0$ puede implicar $na(E,\nabla)=0$ . El "conjunto cohomológico no abeliano"
$$\operatorname{Ext}^1(\Theta_X, \operatorname{End}_{\mathcal{O}_X}(E))$$
no tiene la estructura de un grupo abeliano en general. Creo que se ha conjeturado que si $a(E)=0$ lo siguiente $na(E,\nabla)=0$ pero no tienen una referencia precisa.
Ejemplo: Para un haz de líneas se deduce $\operatorname{End}(L) \cong \mathcal{O}_X$ y se obtiene una secuencia exacta
$$NA.\text{ }0 \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \Theta_X(L, \nabla) \rightarrow \Theta_X \rightarrow 0.$$
Por el argumento anterior se deduce que esta secuencia se divide sobre los números complejos.
Ejemplo: Para simplificar, dejemos que $L\in \operatorname{Pic}(A)$ sea un invertible $A$ -módulo con una conexión $\nabla: T \rightarrow \operatorname{End}_k(L)$ con $T:=\operatorname{Der}_k(A)$ . Sea $ad\nabla: T \rightarrow \operatorname{End}_k(L^* \otimes_A L) \cong \operatorname{End}_k(A)$ . Se deduce para cualquier endomorfismo $\phi_a \in L^*\otimes L$ tenemos
$$ad\nabla(x)(\phi_a)=\phi_{x(a)},$$
donde $\phi_a(u):=au$ para $u\in L$ . En consecuencia $ad\nabla$ es una conexión plana. Obtenemos una extensión
$$NA1.\text{ } 0 \rightarrow L^* \otimes L \rightarrow L^* \otimes L \oplus T \rightarrow^p T \rightarrow 0$$
donde el término medio tiene la siguiente estructura de Lie:
$$[(a,x),(b,y)]:=(x(b)-y(a) +R_{\nabla}(x,y),[x,y])$$
para $a,b\in L^* \otimes L, x,y \in T$ .
Lema: Sección A $s: T\rightarrow A\oplus T$ con $s(x):=(\rho(x),x)$ es $A$ -lineal y un mapa de $k$ -Lie si el mapa $\nabla^*:=\nabla+\rho$ es una conexión plana.
Por lo tanto, secuencia $A1$ es el obstáculo para la existencia de una conexión y $NA1$ es el obstáculo para la existencia de una conexión plana.
Si $(L,\nabla)$ es una conexión plana en un haz de líneas $L$ sigue las secciones $\rho$ de $NA$ están en correspondencia 1-1 con conexiones planas $\nabla^*:=\nabla+\rho$ . Por lo tanto, puede ver el "conjunto de secciones" de $NA$ como el "espacio-parámetro de las conexiones planas". Hay un grupo algebraico/un esquema de grupo que actúa sobre este espacio parámetro y puede formar el "(pila) cociente".
Si $X$ es una variedad proyectiva compleja, se deduce que $NA$ debe tener una sección para cualquier $L\in Pic(X)$ .
Nota: Sea $X \subseteq \mathbb{P}^n_S$ sea proyectivo sobre $S:=Spec(A)$ con $A$ un álgebra finitamente generada sobre un campo $k$ y que $E$ sea coherente $\mathcal{O}_X$ -módulo. Se deduce que
$$\operatorname{H}^0(X, \operatorname{End}(E)\otimes \Omega^1_{X/S})$$
es una $A$ -módulo. Esto es Hartshorne, Thm II.5.19. En particular, si $A$ es igual a $k$ se deduce que el grupo es de dimensión finita $k$ -espacio vectorial.
Nota: El campo $k$ puede ser arbitraria, por lo que los resultados son válidos para una variedad algebraica real $X$ y un haz vectorial de rango finito $E$ en $X$ . El "teorema de Serre-Swan" da una equivalencia de categorías entre la categoría de haces vectoriales reales lisos de rango finito sobre una variedad real lisa $M$ y proyectivo de rango finito $R:=C^{\infty}(M)$ -módulos. El anillo $R$ es un álgebra unital conmutativa sobre el campo de los números reales, y las sucesiones $A1,NA1$ existe para cualquier $R$ -módulo $L$ .
