Cálculo de los límites $ (1) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{n!} ~~ (2) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{n!} $

Question

Tengo una pregunta sobre el límite de la función factorial. ¿Cómo puedo evaluar

$$ (1) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{n!} $$

$$ (2) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{n!} $$

¿Existe alguna expresión alternativa para los factoriales que permita resolver este problema?

Answer 1

Sugerencia : Utilice Aproximación de Stirling :

$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n$$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo presentar enfoques que se basen en estimaciones crudas y sencillas para obtener el factorial, en lugar de desarrollar (o citar) algo equivalente a la fórmula de Stirlin. A tal fin, procedemos a continuación.

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Tenga en cuenta que $n!\ge \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}$ . Por lo tanto, tenemos

$$\frac{10^n}{n!}\le \frac{10^n}{\left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}}=\left(\frac{200}{n}\right)^{n/2}$$

de lo que se deduce que

$$\lim_{n\to \infty}\frac{10^n}{n!}=0$$

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Es fácil demostrar que $n^n\ge nn!$ utilizando, por ejemplo, la inducción. Por lo tanto, tenemos

$$\frac{n^n}{n!}\ge n$$

de donde el codiciado límite es $\infty$ .

Answer 3

Bien, puedes escribir cada una de $n!,10^n,$ y $n^n$ como productos de $n$ enteros. Esto permite escribir $\frac{10^n}{n!}$ y $\frac{n^n}{n!}$ como producto de $n$ números, y sólo tienes que determinar cómo de grandes son esos $n$ números son para encontrar los límites.

Answer 4

La respuesta de Andrew Li es concisa. Pero si no conoces la aproximación de Stirling, hay una prueba elemental:

(1) Podemos ver que n puede ser mucho mayor que 10, ya que $n\to \infty$ por lo que $$a_n=\frac{10^{n}}{n!}\ \ \ and\ \ \ a_{20}=\frac{10^{20}}{20!}$$

Entonces $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{n!}=\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow \infty} a_{20}\frac{10^{n-20}}{\frac{n!}{20!}}=a_{20}\lim_{n \rightarrow \infty} \prod\limits_{i=1}^{n-20}\left (\frac{10}{20+i}\right)\\\leq a_{20}\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-20}\to0$$

Por lo tanto $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10^n}{n!}=0$$

(2) Tenemos

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{n!}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\prod\limits_{i=2}^{n}\left(\frac{n}{i}\right)\right)n\ge\lim_{n \rightarrow \infty}n\to \infty$$

Por lo tanto $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{n!}=\infty$$

Answer 5

Truco útil en este caso: para (a) considerar el serie $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{{10}^n}{n!} $$ y aplicar la prueba del cociente: $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{{10}^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{{10}^n}{n!}} = \lim_{n\to\infty}\frac{10}{n+1} = 0 < 1. $$ Como el serie convergen, el término general (tu secuencia) $\to 0$ . Para (b), la serie $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} $$ también es convergente: $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac1e < 1. $$ Entonces, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n} = 0 $$ y $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{n!} = \infty $$