¿Cuántas pruebas hay de las conjeturas de Weil?

Question

Espero que no se considere que me estoy subiendo al carro, pero allá voy.

La prueba de Deligne del último de los Weil conjetura es bien conocido y sólo forma parte de un enorme corpus de trabajo que ha dado lugar a premios, medallas, etc. (guiño guiño). Las otras conjeturas fueron demostradas por Dwork y Grothendieck. Según Wikipedia, Deligne dio una segunda prueba, y luego menciona tres pruebas más. Sin embargo, lo que he leído no aclara cuál de las conjeturas se demuestra, si todas o sólo la hipótesis de Riemann.

¿Cuántas pruebas hay del conjunto completo de conjeturas de Weil?

Answer 1

Supongo que "sólo la hipótesis de Riemann" se refiere a la afirmación sobre los valores propios de Frobenius que actúan sobre el $H^i$ de una variedad propia lisa, y "todo eso" significa la teoría completa de los pesos: definición de gavillas mixtas, cómo afectan las 4 operaciones a los pesos, etc. (de donde se obtiene el teorema duro de Lefschetz, el teorema de descomposición...).

Esto es lo que yo entiendo:

• La primera demostración de Deligne : sólo la hipótesis de Riemann.

• La segunda prueba de Deligne : el paquete completo para $\ell$ -complejos ádicos, utilizando el mismo tipo de ideas que su prueba pero mejorándolas.

• La prueba de Laumon con el $\ell$ -Transformada de Fourier adica : Permite simplificar partes de la segunda prueba de Deligne, pero no la sustituye en su totalidad. Más concretamente, Laumon da una prueba más corta del teorema 3.2.3 de "La conjetura de Weil II" de Deligne que no utiliza la sección 2 de ese documento, pero sigue necesitando resultados de la sección 1 (el cálculo de la monodromía de las láminas de lisse sobre curvas en 1.8 y el hecho de que "la mayoría" de las láminas de lisse irreducibles son puras demostrado en 1.5.1). Una vez que se tiene el teorema 3.2.3, es bastante fácil deducir de él el resto del "paquete completo", por lo que Laumon no dice nada al respecto.

• La prueba de Katz : Katz da una prueba más sencilla del teorema 3.2.3 del artículo Weil II de Deligne, o más bien de un debilitamiento del mismo que basta para deducir la hipótesis de Riemann y Lefschetz dura. No basta con deducir inmediatamente el paquete completo, aunque puede hacerse sin demasiado dolor. No estoy muy familiarizado con la prueba de Katz. Parece ser diferente de las pruebas de Deligne y Laumon, pero utiliza el mismo tipo de técnicas que la prueba de Deligne. Mi impresión es que es más concreta que la prueba de Deligne. (Nota: no estoy convencido de que la diferencia entre "sólo la hipótesis de Riemann" y "el paquete completo" sea tan grande. La razón es que, si conoces la hipótesis de Riemann, entonces deberías ser capaz de deducir el paquete completo para complejos de origen geométrico. Pero Langlands global nos dice que, en una curva suave sobre un campo finito, toda gavilla irreducible de lisse es de origen geométrico hasta la torsión por una gavilla de rango 1. Así que, en cierto modo, todo es de origen geométrico. La situación es muy diferente sobre un campo numérico, por supuesto).

• La prueba de Kedlaya : Se supone que está modelada sobre la segunda prueba de Deligne modulo la simplificación de Laumon, pero por supuesto la técnica real es diferente porque Kedlaya utiliza coeficientes p-ádicos. Además, obtuvo la hipótesis de Riemann pero no el paquete completo, porque en aquel momento la teoría de los coeficientes p-ádicos relativos no estaba completamente desarrollada. Pero ahora sí lo está.

• La prueba de Abe y Caro : Ver http://arxiv.org/abs/1303.0662 Desarrollan la teoría de pesos para módulos D sobreholonómicos con estructura de Frobenius en variedades sobre campos finitos y obtienen un paquete Weil II completo para ellos (e incluso la extensión Asterisque 100, es decir, la teoría de pesos para láminas perversas). En la introducción dicen que su método es independiente del método de Kedlaya.