Piedra-Čech Compactación de $\mathbb{Z}$ con topología de Fürstenberg

Question

La compactación en piedra de $\mathbb{N}$ como espacio discreto se ha estudiado ampliamente y puede representados mediante ultrafiltros .

Considere $X=(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ donde $\mathcal{T}$ es la topología de Fürstenberg generada por secuencias aritméticas. Equipado con esta topología exótica , $X$ es un anillo topológico, metrizable y totalmente desconectado.

Desde $X$ es metrizable, es Tychonoff y el mapa de $X$ a su imagen en $\beta X$ (su compactificación) es un homeomorfismo.

Tiene $\beta X$ ¿se ha estudiado? ¿Existe una descripción directa análoga a la compactificación de $\mathbb{N}$ con la topología discreta?

Answer 1

También podemos describir $\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ en términos de ultrafiltros sobre álgebras booleanas. Afirmo que $\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es el espacio de ultrafiltros en el álgebra booleana de conjuntos cerrados en $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ donde $\mathcal{T}$ es la topología de Fürstenberg.

Recordemos que un espacio $X$ es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos cerrados, y recuérdese que un conjunto cero en un espacio $X$ es un conjunto de la forma $f^{-1}(0)$ para algún continuo $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ . Un espacio completamente regular $X$ se dice que es fuertemente cero-dimensional si la compactificación de Stone-Čech $\beta X$ es de dimensión cero. Se puede demostrar que un espacio completamente regular $X$ es fuertemente cero-dimensional si y sólo si siempre que $Z_{1},Z_{2}\subseteq X$ son conjuntos cero disjuntos, existe un conjunto cerrado $C\subseteq X$ con $Z_{1}\subseteq C,Z_{2}\subseteq C^{c}$ [1 p. 85]. En otras palabras, un espacio completamente regular es fuertemente cero-dimensional si cada par de conjuntos cero está separado por un conjunto cerrado. Si $X$ es de dimensión cero, entonces $\mathfrak{B}(X)$ denota el álgebra booleana de subconjuntos cerrados de $X$ y que $\zeta X$ sea el espacio de ultrafiltros sobre $\mathfrak{B}(X)$ . Entonces $\zeta X$ es en cierto sentido la máxima compactificación de dimensión cero de $X$ que se denomina compactificación de Banaschewski. Si $X$ es fuertemente cero-dimensional, entonces la compactificación de Banaschewski $\zeta X$ es precisamente la compactificación de Stone-Čech. En [1. p. 86] se afirma que la dimensión cero y la dimensión cero fuerte son equivalentes en los espacios de Lindelöf. Por lo tanto, puesto que $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es de dimensión cero y Lindelöf, el espacio $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es fuertemente cero-dimensional. Concluimos que $\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})=\zeta(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es el espacio de los ultrafiltros en $\mathfrak{B}(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ .

Para aclarar algunas confusiones sobre el espacio $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ y su compactación Stone-Čech, esbozaré algunos datos básicos sobre $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ y $\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ .

Afirmo que el espacio $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ tiene una partición infinita en conjuntos cerrados. No es muy difícil dar un ejemplo explícito de tal partición. Para una demostración más sencilla, supongamos que $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ no tiene partición en un número contable de conjuntos cerrados. Si $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{Z}$ entonces existe una cubierta cerrada $\{C_{n}|n\in\mathbb{N}\}$ que refina $\mathcal{U}$ . Si fijamos $D_{n}=C_{n}\setminus(C_{0}\cup...\cup C_{n-1})$ para todos $n$ entonces $\{D_{n}|n\in\mathbb{N}\}$ es una partición de $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ en un número finito de conjuntos cerrados que refinan $\mathcal{U}$ Así que $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es compacto. Esto es una contradicción. Por lo tanto $(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ tiene una partición en un número contable de conjuntos cerrados.

En particular, existe una función suryectiva continua $f:(\mathbb{Z},\mathcal{T})\rightarrow\mathbb{N}$ donde $\mathbb{N}$ tiene la topología discreta. Por lo tanto, el mapa $f$ se extiende a una función continua suryectiva $\bar{f}:\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})\rightarrow\beta\mathbb{N}$ . Desde $|\beta\mathbb{N}|=2^{\mathbb{c}}$ concluimos que $|\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})|=2^{\mathbb{c}}$ también. Concluimos que la compactación Stone-Cech $\beta(\mathbb{Z},\mathcal{T})$ es mucho mayor que la terminación pro-finita de $\mathbb{Z}$ .

[1] The Stone-Čech Compactification, Russell Walker (1970)

Answer 2

Topológicamente hablando $\mathbb{Z}$ con la topología antes mencionada es simplemente (homeomorfo a) el espacio de los números racionales. El espacio $\beta\mathbb{Q}$ se ha estudiado mucho (no tanto como $\beta\mathbb{N}$ ), por ejemplo por Eric van Douwen en Puntos remotos (Enlace MR) de libre acceso aquí en DMLPL .

Answer 3

Edita. Los comentarios y las demás respuestas revelan que mi prueba tiene alguna laguna. Pero no la voy a borrar, sino que la he reescrito como un intente demostrar $\beta \mathbb{Z} = \hat{\mathbb{Z}}$ . Espero que el fracaso de esta prueba ingenua motive a leer las respuestas más sofisticadas.

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En $\mathbb{Z}$ está dotado de la topología de Fürstenberg, ¿tenemos $\beta \mathbb{Z} = \hat{\mathbb{Z}}$ ?

La topología de Fürstenberg es la topología del subespacio inducida por la terminación profinita $\hat{\mathbb{Z}} = \lim_{n>0} \mathbb{Z}/n$ . La incrustación $\mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}}$ es denso, por lo que para todo espacio compacto de Hausdorff $X$ obtenemos un mapa inyectivo $\hom(\hat{\mathbb{Z}},X) \to \hom(\mathbb{Z},X)$ . La cuestión es si es suryectiva, porque esto significaría que $ \hat{\mathbb{Z}}$ satisface la propiedad universal definitoria de $\beta \mathbb{Z}$ .

Sea $f : \mathbb{Z} \to X$ sea un mapa continuo. Esto significa que para cada $a \in \mathbb{Z}$ todo subconjunto abierto $U \subseteq X$ que contiene $f(a)$ ya contiene $f(a+n \mathbb{Z})$ para algunos $n>0$ . Sea $a=(a_1,a_2,\dotsc) \in \hat{\mathbb{Z}}$ es decir $a_n \equiv a_m \bmod n$ para $n|m$ . Desde $X$ es compacta, la red $(f(a_n))_{n>0}$ (usando divisibilidad para los índices) tiene una subred convergente, digamos $(f(a_{n(i)}))_{i \in I} \longrightarrow x$ .

En realidad, dos subredes cualesquiera tienen el mismo límite: Supongamos que $(f(a_{m(j)}))_{j \in J} \longrightarrow y$ . Elegir barrios abiertos $U,V$ de $x,y$ basta con demostrar $U \cap V \neq \emptyset$ desde $X$ es Hausdorff. Para grandes $i$ tenemos que $f(a_{n(i)}) \in U$ y para los grandes $j$ tenemos $f(a_{m(j)}) \in V$ . Elija $b>0$ con $f(a_{n(i)} + b \mathbb{Z}) \subseteq U$ y $f(a_{m(j)} + b \mathbb{Z}) \subseteq V$ . Podemos suponer $n(i),m(j)|b$ . Para $p=n(i) m(j)$ tenemos $a_p \equiv a_{n(i)} \bmod n(i)$ Por lo tanto $a_p \equiv a_{n(i)} \bmod b$ . Del mismo modo, obtenemos $a_p \equiv a_{m(j)} \bmod b$ . Por lo tanto $f(a_p) \in U \cap V$ .

Por lo tanto $\tilde{f}(a) := $ (el límite de alguna subred de $f(a_n)$ ) da un mapa bien definido $\hat{\mathbb{Z}} \to X$ . Coincide claramente con $f$ en secuencias constantes. Pero ahora el problema parece ser que $\tilde{f}$ no es continua ...