¿Los conjuntos de números surreales o hiperreales contienen algún miembro que sea un número aleph?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?No. Los números surreales forman un campo, mientras que la aritmética de los cardinales no es cancelable: $1+\aleph_0=0+\aleph_0$ pero $1\neq 0$ . Por cierto, lo mismo vale para los ordinales, $1+\omega=\omega$ (aquí también falla la conmutatividad ya que $1+\omega\neq\omega+1$ ). Del mismo modo, la división no está correctamente definida para los cardinales (u ordinales, para el caso) del modo que cabría esperar de los elementos distintos de cero de un campo.
Claro, se puede decir que en principio los ordinales y los cardinales se pueden representar como algunos números surreales particulares. Pero también se puede definir una estructura de campo sobre $\{\aleph_n\mid n<\omega\}$ que es isomorfo a los racionales. ¿Qué sentido tiene eso si se omite toda la estructura aritmética que va unida a los cardinales (u ordinales)? Simplemente no lo es.
Sin embargo, como orden lineal, la respuesta es sí. Como todo conjunto está acotado y tiene un mínimo superior en los surreales, por una fácil inducción todos los ordinales -y por tanto los cardinales con ellos- se integran en el orden. Pero esto no tiene nada que ver con los surreales como campo. Sólo como orden lineal.
Se podría argumentar que los ordinales junto con las sumas de Hessenberg son de hecho incrustados en los números surreales, y que éstas son operaciones "suficientemente naturales" para concluir que efectivamente los ordinales forman parte de los números surreales. El hecho de que necesites mencionar la operación explícitamente, sin embargo, es una prueba de que no se trata de "los ordinales", sino más bien de "los ordinales con alguna aritmética diferente".