Necesito ayuda para entender la notación de integración

Question

¿Podría alguien ayudarme a entender qué es esta notación resaltada en amarillo?

Este lema procede del siguiente artículo de la página 4: https://arxiv.org/pdf/0804.4211.pdf

Sospecho que hay tres posibles resultados para la integral, pero no estoy seguro.

Answer 1

Creo que debe leer

$\begin{pmatrix} -\\-\\- \end{pmatrix}$

como un vector con tres componentes, y la integración se produce en cada componente por separado. Tal vez prefieras la notación

$\Phi(z) = \begin{pmatrix} \mathrm{Re} \int_{z_0}^{z} (1-g^2)f \; d\zeta\\\mathrm{Re} \int_{z_0}^{z}i(1+g^2)f\; d\zeta \\\mathrm{Re} \int_{z_0}^{z}2gf\; d\zeta \end{pmatrix},$

o incluso

$\Phi(z) = \left(\mathrm{Re} \int_{z_0}^{z} \dots, \;\;\;\mathrm{Re} \int_{z_0}^{z}\dots,\;\;\;\mathrm{Re} \int_{z_0}^{z}\dots \right)$ .

Se escriba como se escriba, la intención es la misma: la salida de $\Phi$ es un triple ordenado (tres números reales), es decir $\Phi$ es un mapa $\widetilde{\Sigma\setminus \{p_j\}} \to \mathbb{R}^3$ .