Diferencia entre transporte paralelo y derivada del mapa exponencial

Question

Este es un crosspost de math.stackexchange

Dada una variedad riemanniana $M$ , dejemos que $c(t) = \exp_p(tX)$ sea la geodésica que emana de $p \in M$ con valor inicial $X$ . Sea $t_0$ ser lo suficientemente pequeño, entonces tenemos que maneras de mapa $T_pM$ a $T_{c(t_0)} M$ isomórficamente. Una es el transporte paralelo a lo largo de $c$ llamémoslo $P_{c, 0, t_0}$ y la otra viene dada por $$ d \exp_p|_{tX}: T_{tX}T_pM \cong T_p M \longrightarrow T_{\exp_p(tX)}M = T_{c(t_0)}.$$

Mi pregunta es: ¿Cuál es la relación entre ambos? ¿Existen fórmulas que relacionen ambos conceptos con términos de curvatura?

El transporte paralelo es una isometría lineal, y la derivada del mapa exponencial es una isometría radial por el lema de Gauss, lo que significa que $$ \langle d \exp_p|_{tX} \cdot Y, \dot{c}(t) \rangle = \langle Y, X \rangle $$ para todos $Y \in T_pM$ .

En dos dimensiones, esto significa que los dos mapeados coinciden hasta el escalado, ya que sólo hay una dirección ortogonal a la radial. Sin embargo, en dimensiones superiores, esto no es cierto, supongo. Sin embargo, en $S^3$ calculé que la derivada del mapa exponencial conincide con el transporte paralelo excepto que los vectores ortogonales a la dirección del transporte paralelo se multiplican por $\frac{\sin r}{r}$ .

Answer 1

La relación entre el diferencial del mapa exponencial $\text{d } \text{exp}$ y transporte paralelo $P$ (a lo largo de geodésicas) se expone en los dos artículos (en el contexto de la optimización en variedades):

1 ''Un método acelerado de primer orden para la optimización no convexa en variedades'' y

2 ''Tasas de convergencia global dependientes de la curvatura para la optimización en variedades de geometría limitada''

Ambos también proporcionan límites sobre $||\text{d } \text{exp}||$ véase la Proposición A.3 en 1 o el Teorema 3.12 en 2 . Lo que sigue es de 1 :

Sea $$f_{K_{\text{low}}}(t) = \left\{ \begin{array}{lII} r^2\left(1 - \frac{\sin(t/r)}{t/r}\right) & \quad K_{\text{low}} = 1/r^2 > 0 \\ \frac{t^2}{6} & \quad K_{\text{low}} = 0 \\ r^2\left(\frac{\sinh(t/r)}{t/r} - 1\right) & \quad K_{\text{low}} = -1/r^2 < 0 \end{array} \right\}.$$

Sea $(M, g)$ sea una variedad riemanniana con curvaturas seccionales limitadas por debajo por $-K$ y por encima de $K$ . Sea $x \in M$ , $s \in T_x M$ , y $\gamma(t) = \text{exp}_x (t s)$ . Si $\gamma$ está definido y tiene ningún punto conjugado interior en el intervalo $[0,1]$ entonces $$||(\text{d } \text{exp})_x (s) - P_s)[\dot{s}]|| \leq K ||\dot{s}_{\perp}|| f_{-K}(||s||) \quad \forall \dot{s} \in T_x M$$ donde $\dot{s}_{\perp} = \dot{s} - \frac{\langle s, \dot{s} \rangle}{||s||^2} s$ es el componente de $\dot{s}$ perpendicular a $s$ y $P_{t s}$ indica transporte paralelo a lo largo de $\gamma$ de $\gamma(0)$ a $\gamma(t)$ .

Answer 2

Una respuesta detallada a la pregunta original se encuentra en las secciones 3.1/3.3 de arXiv/1012.3980 que amplían las respuestas anteriores.