Diferencia entre transporte paralelo y derivada del mapa exponencial

Question

Este es un crosspost de math.stackexchange

Dada una variedad riemanniana $M$ , dejemos que $c(t) = \exp_p(tX)$ sea la geodésica que emana de $p \in M$ con valor inicial $X$ . Sea $t_0$ ser lo suficientemente pequeño, entonces tenemos que maneras de mapa $T_pM$ a $T_{c(t_0)} M$ isomórficamente. Una es el transporte paralelo a lo largo de $c$ llamémoslo $P_{c, 0, t_0}$ y la otra viene dada por $$ d \exp_p|_{tX}: T_{tX}T_pM \cong T_p M \longrightarrow T_{\exp_p(tX)}M = T_{c(t_0)}.$$

Mi pregunta es: ¿Cuál es la relación entre ambos? ¿Existen fórmulas que relacionen ambos conceptos con términos de curvatura?

El transporte paralelo es una isometría lineal, y la derivada del mapa exponencial es una isometría radial por el lema de Gauss, lo que significa que $$ \langle d \exp_p|_{tX} \cdot Y, \dot{c}(t) \rangle = \langle Y, X \rangle $$ para todos $Y \in T_pM$ .

En dos dimensiones, esto significa que los dos mapeados coinciden hasta el escalado, ya que sólo hay una dirección ortogonal a la radial. Sin embargo, en dimensiones superiores, esto no es cierto, supongo. Sin embargo, en $S^3$ calculé que la derivada del mapa exponencial conincide con el transporte paralelo excepto que los vectores ortogonales a la dirección del transporte paralelo se multiplican por $\frac{\sin r}{r}$ .

Answer 1

Para comprender la relación entre $Q$ y $P$ basta con estudiar cómo actúan sobre una base ortonormal(o.n.). He aquí el argumento detallado:

Sea $J_i(t)$ sea el campo de Jacobi a lo largo de $c$ con $J_i(0)=0$ y $J_i'(0)=e_i$ donde $e_1, \cdots, e_{n-1}, X$ es una base o.n de $T_p(M)$ . Entonces se puede demostrar que $J_i(t)=Q_t(e_i)$ , ya que $$ Q_t(e_i)=dexp_{tX} (te_i). $$

Ampliar ahora $e_i$ a $E_i(t)$ a lo largo de $c$ mediante transporte paralelo $P$ . Se puede escribir $J_i$ (es decir $Q_t$ ) en términos de la base o.n. $E_i(t)$ : $$ Q_t(e_i)=J_i(t)=\sum_j a_{ij}E_j(t)=\sum_j a_{ij}P_t(e_j). $$

Sea $A=(a_{ij})$ . Utilizando la ecuación de Jacobi, se puede demostrar que $$ A''(t)+R(t)A(t)=0, $$ donde $R(t)=(R_{ij}(t))$ es el término de curvatura definido por $R_{ij}(t)=\langle R(E_j, \dot{c}) \dot{c}, E_i \rangle$ .

Se trata esencialmente de la ecuación de Jacobi. Así que, a grandes rasgos, $Q$ y $P$ satisfacen la ecuación de Jacobi.

observación: Parece que mi definición de $Q$ difiere por un hecho de reescalado $t$ . Por lo tanto, si utilizamos $N$ para indicar su mapa y, a continuación $Q_t(e_i)= N(t e_i)$ .

Answer 2

Esta es una respuesta sin respuesta, pero posiblemente ilustrativa.

Tenga en cuenta que su identificación $T_{t_0X}(T_pM)\cong T_p M$ es precisamente la traslación paralela en el espacio euclidiano $T_p M$ . En cierto sentido, al querer comparar su revisado $d\exp_p|_{t_0X}$ a $P_{c,0,t_0}$ , sólo estás "deshaciendo" esa identificación. La "verdadera" $d\exp_p|_{t_0X}$ mapas $T_{t_0X}(T_pM)$ a $T_{c(t_0)}M$ y sólo mide la distorsión de las coordenadas normales en $t_0X$ .

Answer 3

Sea $c$ sea una geodésica con $c'\ne 0$ en una variedad de Riemann $(M,g)$ y que $Y$ sea un campo de Jacobi a lo largo de $c$ con $Y(0)=0$ . Entonces tenemos $$ Y(t) = T_{t.\dot c(0)}(\exp_{c(0)}) {vl}\big(t.\dot c(0),t.(\nabla_{\partial_t}Y)(0)\big). $$ Aquí $vl: TM\times_M TM \to T^2M$ es la elevación vertical. Véase la página 350 del (aquí) . La EDO para los campos de Jacobi es de segundo orden e implica al operador de curvatura. La EDO para el transporte paralelo es constante de primer orden.

Answer 4

Sea $P_t:T_p\to T_{c(t)}$ sea el transporte paralelo y $Q_t:T_p\to T_{c(t)}$ sea tu mapa. Dado $J\in T_p$ el campo $J(t)=Q_t(J)$ es un campo de Jacoby y $J'(0)=0$ . Establecer $$W_t=P_t-Q_t.$$ De ello se deduce que

• $W_t=O(t^2)$ ;
• el valor $W_t''$ puede expresarse a partir del tensor de curvatura.
• Como has notado $W_t(\tau)\equiv 0$ donde $\tau=c'(0)\in T_p$ .

Supongo que tanto como puedas conseguir.

Answer 5

El Teorema de Cartan (véase, por ejemplo, Do Carmo, "Riemannian Geometry", p. 157) da una respuesta a la pregunta. Doy aquí algunos detalles:

Sea $M,\widetilde{M}$ sean dos variedades riemannianas de la misma dimensión y sea $i:T_pM\rightarrow T_{\widetilde{p}}\widetilde{M}$ sea un isomorfismo lineal. Entonces tenemos el difeomorfismo local $$f(q)={\rm exp}_{\widetilde{p}}\circ i\circ {\rm exp}_p^{-1}(q)$$ Además, utilizando el transporte paralelo podemos definir un mapa (conjunto $q=\gamma(t)$ , $\gamma$ geodésica radial normalizada que parte de $p$ ) $$\phi_t=\widetilde{P}_t\circ i\circ P_t^{-1}:T_qM\rightarrow T_{f(q)}\widetilde{M}.$$ El Teorema de Cartan establece que si $\phi_t$ es compatible con los tensores de curvatura de las dos variedades, entonces coincide con el Jacobiano de $f$ . En tal caso, $f$ es una isometría local.

Puede encontrar la respuesta a su pregunta configurando $M:=T_{\widetilde{p}}\widetilde{M}$ , $i=$ identidad, $p=0\in T_{\widetilde{p}}\widetilde{M}$ .