¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones exponencial y logarítmico?

Question

$$ \left\{\begin{array}{c} e^{2x} + e^y = 800 \\ 3\ln(x) + \ln(y) = 5 \end{array}\right.$$

Entiendo cómo resolver sistemas de ecuaciones, reglas logarítmicas y el hecho de que $\ln(e^x) = e^{\ln(x)} = x$. Sin embargo, cualquier dirección que parece ir con este problema me causa dificultades. Por ejemplo, al resolver para y, puedo conseguir $y = \ln\left(800 - e^{2x}\right)$ o $y = \frac{e^5}{x^3}$. Ambas direcciones parecen que me llevan a un callejón sin salida. Aunque el sistema de ecuaciones parece ser una pregunta frecuente por aqui, no he encontrado nada útil hacia este problema.

Answer 1

Tras establecer su ecuación como Harish Chandra Rajpoot respondió $$f(x)=e^{2x}+e^{(e^5/x^3)}-800$$ each piece varies very fast. So, hoping that only one solution exist, try inspection $$f(1)\approx 2.85112\times 10^{64}$$ $$f(2)\approx 1.13992\times 10^8$$ $$f(3)\approx-152.665$$ So, the solution is very close to $3$. Since we have a "reasonable" guess, let us use Newton method which, starting at the guess $x_0=3$, will update it according to $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ For your case $$f'(x)=2 e^{2 x}-\frac{3 e^{\frac{e^5}{x^3}+5}}{x^4}$$

Aplicar el método, los sucesivos itera son $$x_1=2.71403$$ $$x_2=2.79701$$ $$x_3=2.85671$$ $$x_4=2.88250$$ $$x_5=2.88649$$ $$x_6=2.88657$$ cual es la solución para seis cifras significativas.

Editar

Como Mark Dickinson comentado, la primera derivada de la función se cancela una sola vez para $x_*\approx 3.059$ y para este valor de $e^{2x_*}+e^{(e^5/x_*^3)}\approx 632.498$, lo que significa que la ecuación de $e^{2x}+e^{(e^5/x^3)}=a$ no muestran ninguna solución si $a < 632.498$. La construcción de una expansión de Taylor alrededor de $x=3$, $$f(x)=\left(-800+e^6+e^{\frac{e^5}{27}}\right)-\frac{1}{27} \left(e^5 \left(e^{\frac{e^5}{27}}-54 e\ \ derecho)\right) (x-3)+\frac{e^5 \left(2916 e+36 e^{\frac{e^5}{27}}+e^{5+\frac{e^5}{27}}\right) }{1458}(x-3)^2+O\left((x-3)^3\right)$$ the roots of which being $\aprox 2.62606$ and $\aprox 3.47307$ que son muy buena estimación de la solución dada anteriormente y de la extra de solución identificadas por @user190080.

Habría sido una mejor idea de buscar en las raíces de la función$$g(x)=\log\Big(e^{2x}+e^{(e^5/x^3)}\Big)-\log(800)$$, que es mucho mejor acondicionado (al menos desde un punto de vista numérico).

Answer 2

Así que aquí está otra solución para su problema, de nuevo, usando el método de Newton obtenemos utilizando como valor inicial $x_0=3.2$ (es muy sensible!) la siguiente línea de itera $$x_0=3.2$$ $$x_1=3.330187$$ $$x_2=3.303383$$ $$x_3=3.302208$$ $$x_4=3.302206$$ lo que nos da como una solución aproximada $$ f(3.302206)\aprox-5.277731 \cdot10^{-5} $$ Por supuesto, es posible que existen otras soluciones fuera sólo nos espera a ser descubierto, un gráfico de análisis podría dar algún espacio libre sobre eso.

Para el análisis gráfico por favor, compruebe el comentario de Mark justo debajo de la respuesta! tl;dr: hay dos soluciones + que hay al menos dos soluciones $\to$ hay exactamente dos soluciones

Answer 3

SUGERENCIA:

We have $$e^{2x}+e^{y}=800\tag 1$$ $$3\ln(x)+\ln(y)=5\tag 2$$ $$\implies \ln(x^3)+\ln(y)=5$$

$$\ln(x^3y)=5$$ $$x^3y=e^5$$ $$y=\frac{e^5}{x^3}$$ setting this value of $y$ in (1), we get $$e^{2x}+e^{(e^5/x^3)}=800$$ $$e^{2x}+e^{(e^5/x^3)}-800=0$$

¿Puede seguir adelante?

Answer 4

El sistema de ecuaciones son trascendentales métodos numéricos funcionan mejor.

Si $ f(x)= e^{e^x}$ es una función estándar, puede escribir una expresión para ellos.

Answer 5

Usted tiene un sistema de 2 ecuaciones logarítmicas, pero utilizando las reglas de los logaritmos, usted puede convertirlos en un sistema de ecuaciones simplier.

$ln(e^{2x} + e^{y}) = ln(800)$ para la primera ecuación y $e^{3ln(x) + ln(y)} = e^{5}$ para el segundo.

Resolver utilizando sus reglas logarítmicas la da un sistema de dos ecuaciones que te pueden solucionar cualquier manera eliges.

Nuevo sistema, $2x + y = ln(800)$ y $x^3 + y = e^5$, le da una solución real en $x \approx 5.34162$ y $ y \approx -3.99862$ junto con dos soluciones complejas.

Edit: mi error, no un conjunto de ecuaciones lineales