Convergencia de $\sum\limits^\infty _{k=0} a_k \sin(kx)+b_k \cos(kx)$

Question

Ok, para la serie infinita:

$$\sum^\infty _{k=0} a_k \sin(kx)+b_k \cos(kx)$$

¿Cómo demuestro que esto converge en cualquier intervalo finito si $\sum^\infty _{k=0} k(|a_k|+|b_k|)<\infty$ ?

Además, ¿el hack me muestran que esta función diferenciable, y también encontrar su derivada?

Gracias.

Answer 1

Edita: como observa @J.M. se trata de una serie de Fourier.

En realidad, $\sum_{k\ge 0}|a_k|+|b_k|<\infty$ es suficiente para la convergencia, ya que implica convergencia normal en $\mathbb{R}$ (algunas personas prefieren invocar el Prueba M de Weierstrass que se reduce a lo mismo, pero simplemente concluye que hay convergencia uniforme), es decir $$ \sum_{k\geq 0}\sup_{x\in\mathbb{R}}|a_k\sin(kx)+b_k\cos(kx)|\leq \sum_{k\geq 0}|a_k|+|b_k|\leq \sum_{k\geq 0}k(|a_k|+|b_k|)<\infty. $$

Por supuesto, la convergencia normal es una forma muy fuerte de convergencia que implica, en particular, la convergencia puntual. Así que su serie converge en $\mathbb{R}$ . A fortiori en cualquier intervalo finito.

Pero tu suposición probablemente está aquí para justificar la convergencia normal de la serie obtenida tras la diferenciación término a término. En efecto $$ \sum_{k\geq 0}\sup_{x\in\mathbb{R}}|ka_k\cos(kx)-kb_k\sin(kx)|\leq \sum_{k\geq 0}k(|a_k|+|b_k|)<\infty. $$

Esto demuestra que su serie es diferenciable (en realidad $C^1$ ) en $\mathbb{R}$ w $$\sum_{k\geq 0}ka_k\cos(kx)-kb_k\sin(kx).$$

Tenga en cuenta que las únicas estimaciones necesarias para obtener todo esto son $|\cos y|\leq 1$ y $|\sin y|\leq 1$ para cada $y\in\mathbb{R}$ .

Concluiré con una prueba del hecho que he utilizado.

Reclamación: deje $f(x)=\sum_{n\geq 0}f_n(x)$ sea una serie de valores diferenciables (resp. $C^1$ ) funciona en $\mathbb{R}$ . Si $f$ converge puntualmente en $\mathbb{R}$ (en realidad, basta con que converja en un único punto dado el supuesto siguiente) y si $\sum_{n\geq 0}f_n'(x)$ converge normalmente en $\mathbb{R}$ entonces $f$ es diferenciable (resp. $C^1$ ) en $\mathbb{R}$ y $f'(x)=\sum_{n\geq 0}f_n'(x)$ .

Prueba: Fijar $x_0$ . Por el teorema del valor medio $f_n(x)-f_n(x_0)=f'_n(c_x)(x-x_0)$ de ahí $\left|\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right|\leq \sup |f'_n|$ para cada $x\neq x_0$ y cada $n\geq 0$ . Por lo tanto $$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\sum_{n\geq 0}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} $$ es normalmente convergente. Por convergencia dominada, podemos intercambiar el límite en $x_0$ y suma, lo que produce la diferenciabilidad en $x_0$ y la fórmula de la derivada. En el $C^1$ caso, la convergencia normal de la serie de derivadas implica su continuidad. QED.

Answer 2

Sugerencia: haz la prueba de comparación.