Hablemos de lo que es un parámetro de localización. (La discusión sobre los parámetros de escala será exactamente paralela y ofrece pocas novedades).
El escenario se refiere a un conjunto $\mathcal{F}$ de distribuciones de probabilidad $F_\theta$ indexado por un parámetro $\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^p$ . "Indexado por" no sólo significa cada $\theta\in\Theta$ denota una distribución $F_\theta$ : también significa que ninguna distribución se identifica con más de una de estas $\theta$ .
Considere cualquier propiedad de ubicación-covariante de $F_\theta$ como un cuantil específico (que siempre existirá) o su primer momento (que podría existir para algunas familias de distribuciones). Por "propiedad" entiendo, en general, una función "agradable" de valor real $t$ ("agradable" se explicará momentáneamente) definida en esta familia de distribuciones y "covariante de localización" significa que para cualquier $F$ en la familia, $$t(F^{(\mu)}) = t(F) + \mu$$
donde el traductor $F^{(\mu)}$ es la función de distribución dada por
$$F^{(\mu)}(x) = F(x-\mu).$$
Considere cualquier $\theta_0$ en el interior de $\Theta$ . Se supone que las parametrizaciones tienen la propiedad de que tal $\theta_0$ tendrá un $p$ -vecindario dimensional $\mathcal{B}$ en el que $t$ es diferenciable con derivada distinta de cero en todo su recorrido (eso es lo que significa "agradable"). El Teorema de la Función Implícita implica entonces que existe un sistema de coordenadas en esta vecindad en el que la primera coordenada es $t$ y el resto $p-1$ son funciones diferenciables. Localmente, al menos, las distribuciones pueden parametrizarse mediante $t$ y por el subconjunto de codimensión 1 de $\mathcal{B}$ cuya primera coordenada es $t(\theta_0)$ . Esto da un nuevo conjunto de coordenadas $\gamma=(\gamma_1,\ldots, \gamma_p)$ con $\gamma_1=t$ .
Decimos que $t$ es un parámetro de ubicación para la familia. Tiene la propiedad de que si arreglamos el último $p-1$ coordenadas en $\mathcal{B}$ entonces la función de distribución se puede escribir de la forma
$$F_{(t, \gamma_2, \ldots,\gamma_p)}(x) = H_{(\gamma_2,\ldots, \gamma_p)}(x-t)$$
donde $H$ (y por tanto cualquier cosa equivalente a ella, como su pdf si lo tiene) depende sólo del último $p-1$ parámetros. Así es como se reconoce un parámetro de localización: el argumento de la función de distribución aparece en la fórmula sólo como la combinación $x-t$ .
Pongamos un ejemplo. Supongamos que cada $F_\theta$ en el interior de $\Theta = \{(\theta_1,\theta_2)\mid \theta_1 \ge 0\}$ es continua y viene dada en términos de su pdf $f_\theta$ como
$$f_\theta(x) \propto \exp(-\theta_1 x^2 + \theta_2 x) \propto \exp\left(-\theta_1\left(x - \frac{\theta_2}{2\theta_1}\right)^2\right).\tag{1}$$
¿Es una familia de localización? En caso afirmativo, ¿cuál es su parámetro de localización?
En la primera fórmula de $(1)$ , no hay ningún parámetro de ubicación obvio: $f_\theta$ no es explícitamente una función de $x-\theta_1$ ou $x-\theta_2$ .
La segunda fórmula de $(1)$ muestra que cada pdf es simétrico en torno al valor $$t(\theta) = \frac{\theta_2}{2\theta_1},$$ que por lo tanto debe ser la mediana. Dado que la mediana es una propiedad covariante de la localización, podemos explotar esta observación para construir un parámetro de localización.
Considere $\theta_0 = (1,0)$ por ejemplo. Elegí esto para hacer $t(\theta_0)=0$ tienen un valor simple. El conjunto de niveles de $t$ de paso $\theta_0$ viene dado por
$$0 = t(1,0) = t(\theta_1, \theta_2) = \frac{\theta_2}{2\theta_1},$$
mostrando que (localmente) es el conjunto donde $\theta_2=0$ y podemos parametrizarla por $\theta_1$ . Por lo tanto, cambiemos la parametrización de $\theta$ a
$$\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) = (t(\theta_1, \theta_2), \theta_1) = \left( \frac{\theta_2}{2\theta_1}, \theta_1\right).$$
El punto base $\theta_0$ corresponde a $\gamma_0 = (0, 1)$ .
La inversa de esta transformación de $\theta$ a $\gamma$ es
$$\theta = (\theta_1, \theta_2) = \left(\gamma_2, 2\gamma_1\gamma_2\right).$$
Por tanto, la nueva parametrización es
$$G_\gamma(x) = F_{\left(\gamma_2, 2\gamma_1\gamma_2\right)}(x) \propto \exp\left(-\gamma_2(x - \gamma_1)^2\right).$$
Ahora es perfectamente obvio que $\gamma_1$ es un parámetro de localización, porque su único efecto es desplazar $x$ en la fórmula.
Al encontrar un candidato a parámetro de localización y demostrar que actúa como tal, hemos verificado que se trata de una familia de localización y hemos encontrado un parámetro de localización para ella. Por cierto, también hemos identificado este parámetro con una propiedad covariante de la localización: la mediana.
