Condiciones equivalentes para submartingales (Problema 3.19 en Karatzas y Shreve)

Question

Me cuesta entender la prueba del siguiente resultado en Karatzas y Shreve (Problema 3.19, página 18).

Propuesta Las tres condiciones siguientes son equivalentes para un submartingale derecho-continuo no negativo $\{X_t,0\leq t < \infty\}$ :

1. Es uniformemente integrable.

2. Converge en $L^1$ como $t\rightarrow \infty$ .

3. Converge $\mathbb{P}$ -a.s. as $t\rightarrow \infty$ a una variable aleatoria integrable $X_{\infty}$ tal que $\{X_t,0\leq t \leq \infty\}$ es un submartingale.

El libro ofrece una solución a este problema, pero me cuesta entender el argumento utilizado para establecer que $(ii)\implies(iii)$ y $(iii)\implies(i)$ .

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Establecer $(ii)\implies(iii)$ el argumento de los autores es el siguiente:

Sea $X_{\infty}$ sea el $L^1$ límite de $X_t$ . Para cualquier $A_s\in\mathcal{F}_s$ tenemos $$ \int_A X_s d\mathbb{P}\leq \int_A X_td\mathbb{P}$$ Dejar $t\rightarrow \infty$ obtenemos que $$\int_A X_s d\mathbb{P}\leq \int_A X_{\infty} d\mathbb{P}$$ para todos $0\leq s < \infty$ .

Pregunta : Cómo llegamos a la última desigualdad. Por qué podemos pasar el límite por la integral?

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Establecer $(iii)\implies(i)$ los autores argumentan lo siguiente:

Para $0\leq t<\infty$ y $\lambda>0$ tenemos $$\int_{\{|X_t|\geq\lambda\}}X_t d\mathbb{P} \leq \int_{\{|X_t|\geq\lambda\}}X_{\infty}d\mathbb{P}$$ que converge uniformemente en $t$ a $0$ desde $\mathbb{P}[|X_t|\geq\lambda]\leq(1/\lambda)\mathbb{E}[X_t]\leq(1/\lambda)\mathbb{E}[X_{\infty}]$

Pregunta : ¿Cómo funciona el límite uniforme de $\mathbb{P}[|X_t|\geq\lambda]$ como $\lambda\rightarrow \infty$ establece la integrabilidad uniforme?

Answer 1

$(ii) \implies (iii):$ Has asumido que $X_t \to X_\infty$ en $L^1$ como $t \to \infty$ . Podemos escribir $$\bigg |\int_A X_t d \mathbb{P} - \int_A X_\infty d \mathbb{P} \bigg |\leq \int_A |X_t - X_\infty| d \mathbb{P} \leq \|X_t - X_\infty\|_{L^1} \to 0$$ para ver que $\int_A X_t d\mathbb{P} \to \int_A X_\infty d\mathbb{P}$ .

$(iii) \implies (i):$ Para demostrar la integrabilidad uniforme, queremos demostrar que para $\varepsilon > 0$ hay un $\lambda$ tal que $$\sup_t \int_{\{|X_t| \geq \lambda\}} |X_t| d \mathbb{P} \leq \varepsilon.$$ Los autores lo hacen utilizando el hecho estándar de que para $Y \in L^1$ , $\int_A |Y| d \mathbb{P} \to 0$ como $\mathbb{P}(A) \to 0$ en el sentido de que para $\varepsilon > 0$ hay un $\delta>0$ tal que $\mathbb{P}(A) < \delta$ implica que $\int_A |Y| d \mathbb{P} < \varepsilon$ .

He aquí una prueba de ese hecho en su caso concreto. Tenemos \begin{align} \int_{\{|X_t| \geq \lambda\}} |X_\infty| d\mathbb{P} =& \int_{\{|X_t| \geq \lambda\}\cap \{|X|_\infty < K\}} |X_\infty| d\mathbb{P} + \int_{\{|X_t| \geq \lambda\} \cap \{|X|_\infty \geq K\}} |X_\infty| d\mathbb{P} \\ \leq & K \mathbb{P}(|X_t| \geq \lambda) + \int_{\{|X|_\infty \geq K\}} |X_\infty| d\mathbb{P}. \end{align} Podemos elegir $K$ tal que $\int_{\{|X|_\infty \geq K\}} |X_\infty| d\mathbb{P} < \frac{\varepsilon}{2}$ . Para ello $K$ hemos demostrado que $$\sup_t \int_{\{|X_t| \geq \lambda\}} |X_t| d \mathbb{P} \leq K \sup_t \mathbb{P}(|X_t| \geq \lambda) + \frac{\varepsilon}{2}.$$ Desde $\mathbb{P}(|X_t| \geq \lambda) \to 0$ uniformemente en $t$ como $\lambda \to \infty$ la parte derecha es menor que $\varepsilon$ para $\lambda$ lo suficientemente grande.