Que $ (\Omega,\mathscr{F},\mu)$ ser un espacio de probabilidad tales que $\mu$ es no-atómicos y fijar $x \in [0,1]$. ¿Es cierto que uno puede encontrar $F \in \mathscr{F}$ que $\mu(F)=x$? Y ¿qué pasa si $\mu$ sólo es finitamente aditiva?
PS. Aquí recordamos que $\mu$ no atómico si $\mu(X)>0$ $X \in \mathscr{F}$ implica que existe $Y \in \mathscr{F}$de % que $0<\mu(Y)<\mu(X)$.
Aquí es una prueba de la primera pregunta usando el lema de Zorn, y un contraejemplo a la segunda pregunta el uso de un ultrafilter. (Para ambos casos se utiliza alguna forma de que el axioma de elección!)
Teorema (Sierpinski): Para un no-atómica probabilidad de espacio $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, $\mu$ es surjective en $[0,1]$.
Prueba: Deje $x \in [0,1]$, y vamos a $$ \mathcal{G} = \{F \in \mathcal{F} \;:\; \mu(F) \ge x\}, $$ y considerar el orden de $\mathcal{G}$ en virtud de la inclusión a medida cero conjuntos. Explícitamente, decir que $F_1 \le F_2$ siempre $\mu(F_1 \setminus F_2) = 0$. Tenga en cuenta que $\mathcal{G}$ es no vacío, como $\Omega \in \mathcal{G}$.
Este no es un orden parcial, porque si $F_1$ $F_2$ es equivalente a un conjunto de medida cero, entonces $F_1 \le F_2$$F_2 \le F_1$. Sin embargo, es una pre-orden, y el lema de Zorn obras para pre-pedidos.
Así que, a tal fin, considerar un subconjunto totalmente ordenado (cadena) $\mathcal{T}$$\mathcal{G}$, en $\le$. Para cualquier $y \in \mathbb{R}$, $\mathcal{T}$ contiene más de un conjunto de $F$$\mu(F) = y$; si contenía $F_1$ $F_2$ con la misma medida, con decir $F_1 \le F_2$, $F_2 \le F_1$ como bueno, y no es un orden total. Por lo tanto, $\mathcal{T}$ es de orden-isomorfo a un subconjunto de la línea real no negativo. Si este subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene un mínimo elemento, que corresponde a un límite inferior, y hemos terminado; otra cosa que podamos encontrar estrictamente a la disminución de la secuencia $T_1, T_2, T_3 \ldots$,$T_i \in \mathcal{T}$, de tal manera que el límite inferior de $(T_i)$ es un límite inferior de $\mathcal{T}$. Ahora, $T_i$ son medibles, con $\mu(T_1) < \infty$, e $\mu(T_{i+1} \setminus T_i) = 0$ todos los $i$, por lo que por consecuencia de aditividad contables $$ \mu\left( \bigcap_{i=1}^\infty T_i \right) = \lim_{i \to \infty} \mu(T_i) \ge x $$ desde $\mu(T_i) \ge x$ todos los $x$. Por lo tanto la intersección $\bigcap_{i=1}^\infty T_i$ es el deseado límite inferior de la cadena de $\mathcal{T}$.
Por lo tanto, por el lema de Zorn $\mathcal{G}$ tiene un mínimo elemento, decir $E$. Tenemos $\mu(E) \ge x$. Si $\mu(E) > x$, ya que la probabilidad de espacio no es atómica, no deben ser un subconjunto $E'$ $E$ con arbitrariamente pequeña medida, y se puede encontrar $E'$ tal que $\mu(E) > \mu(E \setminus E') > x$, contradiciendo la minimality de $E$. Por lo $\mu(E) = x$.
Contraejemplo: existe un no-atómica $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ donde $\mu$ es sólo finitely aditivo, $\mu(\Omega) = 1$, e $\mu$ no es surjective en $[0,1]$.
Prueba. Deje $\lambda$ denotar la medida de Lebesgue. Deje $\Omega = [0,1]$, y deje $\mathcal{F}$ $\sigma$- álgebra de Lebesgue-medible conjuntos. Vamos $$ \mathcal{A} = \{F \in \mathcal{F} \; : \; \lambda(F) = 1\}. $$ Tenga en cuenta que $\mathcal{A}$ es un filtro en $\Omega$. Por otra parte, $\mathcal{A}$ es libre y adecuado. Por lo tanto, por el Ultrafilter lema, hay un libre de ultrafilter $\mathcal{U} \supset \mathcal{A}$. Ahora definimos la siguiente función $\nu: \mathcal{F} \to [0,1]$ correspondiente a la ultrafilter $\mathcal{U}$, $$ \nu(A) = \begin{cases} 1 &\text{if } A \in \mathcal{U} \\ 0 &\text{if } A \not \in \mathcal{U} \end{casos} $$ Compruebe que $\nu$ es finitely aditivo por las propiedades de un ultrafilter, y $\nu([0,1]) = 1$. Por último, vamos a $$ \mu(A) = \frac{1}{2}\left( \lambda(A) + \nu(A) \right) $$ para todos los $A \in \mathcal{F}$.
Tenemos que $\mu([0,1]) = 1$, y $\mu$ es finitely aditivo como tanto $\lambda$$\nu$. Tenemos que mostrar que $\mu$ no es atómica, pero no lograr cada valor entre el$0$$1$.
Primero nos muestran que no hay un conjunto de $A \in \mathcal{F}$ tal que $\mu(A) = \frac12$. Esto está demostrado por el trabajo de casos en $\nu(A)$ :
Si $\nu(A) = 0$,$A \not \in \mathcal{U}$, lo $A \not \in \mathcal{A}$, por lo $\lambda(A) < 1$, lo $\mu(A) < \frac12$.
Si $\nu(A) = 1$,$\nu(A^c) = 0$, por lo que por las razones arriba mencionadas $\mu(A^c) < \frac12$, lo $\mu(A) > \frac12$.
Por último, tenemos que mostrar que $\mu$ no es atómica: si $A$ es un conjunto con $\mu(A) > 0$, a continuación, porque es imposible para$\nu(A) = 1$$\lambda(A) = 0$, $\lambda(A) > 0$. Por lo tanto, desde el $\lambda$ no es atómica, split $A$ en subconjuntos disjuntos $A_1, A_2$ tal que $\lambda(A_1) > 0$ $\lambda(A_2) > 0$; entonces al menos uno de $A_1$ $A_2$ no es en $\mathcal{U}$, así que si por ejemplo, se $A_1$ $$ 0 < \mu(A_1) = \frac12 \lambda(A_1) < \frac12 \lambda(A) \le \mu(Una). $$
Por lo tanto, $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ no es atómica y finitely aditivo, pero $\mu$ no es surjective en $[0,1]$ no existe con la medida $\frac12$.
Notas sobre los filtros:
Un filtro de $\mathcal{A}$ $X$ es un subconjunto de a $\mathcal{P}(X)$ tales que (1) $X$ es no vacío; (2) si $A \in \mathcal{A}$$B \supseteq A$$B \in \mathcal{A}$; (3) si $A, B \in \mathcal{A}$, $A \cap B \in \mathcal{A}$.
Un filtro de $\mathcal{A}$ $X$ se llama adecuada si $\varnothing \not \in \mathcal{A}$, o, equivalentemente,$\mathcal{A} \subsetneq \mathcal{P}(X)$. (A veces, adecuada se incluye en la definición de un filtro.) $\mathcal{A}$ se llama libre si la intersección $\bigcap \mathcal{A} = \varnothing$, o lo que es equivalente para todos los $x \in X$ hay $A \in \mathcal{A}$ tal que $x \not \in A$. Filtros sólo existen en conjuntos infinitos; los más pequeños libre de filtro es el conjunto de cofinite conjuntos, llamado el Fréchet filtro; un filtro es libre si y sólo si contiene el filtro de Fréchet.
Un ultrafilter $\mathcal{U}$ $X$ es un filtro que es de "máxima" en el siguiente sentido: (4) para cualquier $A \subseteq X$, exactamente uno de $A, X \setminus A$$\mathcal{U}$.
El ultrafilter lema dice que cada filtro adecuado puede ser extendido a un ultrafilter. Por supuesto, si el filtro original es libre, así que es el ultrafilter. (Gratis ultrafilters son prácticamente los únicos interesantes; no libre ultrafilters se llaman principal y son todos iguales a $\{A \subseteq X \,:\, x \in A\}$ algún elemento $x \in X$.)
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
