Si $v \neq 0$ y $T^3(v)=0$ entonces $T(v) = 0$ ?

Question

Supongamos $v \neq 0$ y que $T: V \to V$ sea una transformación lineal, donde $V$ es un espacio con producto interior. ¿Qué podemos decir de $T(v)$ ? Este es un ejercicio que un profesor mostró en una lección; además, existen alternativas. Éstas son: $0,v,2v,3v,4v$ . Así que he intentado hacer lo siguiente:

Si $T(v) = 0$ entonces $T^2(v) = 0$ así que.., $T^3(v)=0$ .

Pero, si $T(v) \neq 0$ no podemos decir nada de su cuadrado ni de su cubo, ¿verdad?

Agradecería cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad estás discutiendo el espacio nulo de $T$ y he aquí tres teoremas al respecto:

1. $\mathrm{null}\,T\subset \mathrm{null}\,T^2\subset\mathrm{null}\,T^3\subset\dotsb$ ;
2. Si $\mathrm{null}\,T^{m} = \mathrm{null}\,T^{m+1}$ entonces $$ \mathrm{null}\,T^{m+1} = \mathrm{null}\,T^{m+2}=\dotsb. $$
3. Si $V$ es de dimensión finita, entonces $$ \mathrm{null}\,T^{\dim V} = \mathrm{null}\,T^{\dim V+1} = \dotsb. $$ Puede consultar la p.242 de Álgebra lineal bien hecha, Sheldon Axler, Tercera edición para obtener información detallada.