¿Por qué $\sum_{n=1}^N\varepsilon_ka_k$ ¿simétrica alrededor del origen?

Question

Estoy tratando de entender un paso en la demostración de la desigualdad de Khinchin en este conjunto de notas de clase (página 12) por Tao: https://arxiv.org/pdf/math/0311181.pdf

Sea $a_1,\cdots,a_n$ sea $n$ números reales y $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ sean variables aleatorias iid con $ P(\varepsilon_1= 1)=P(\varepsilon_1= -1)=\frac{1}{2}. $ Tras demostrar que $$ P(\sum_{n=1}^N\varepsilon_ka_k\geq\lambda)\leq C e^{-\lambda^2/2}, $$ Tao concluye que $$ P(|\sum_{n=1}^N\varepsilon_ka_k|\geq\lambda)\le 2Ce^{-\lambda^2/2},\tag{1} $$ al decir que (página 14)

ya que la variable aleatoria $\sum_{n=1}^N\varepsilon_ka_k$ es claramente simétrica alrededor del origen.

Supongo que esto significa $$ P(Y\leq -\lambda)=P(Y\geq\lambda),\quad Y:=\sum_{n=1}^N\varepsilon_ka_k, $$ lo que implica inmediatamente (1).

¿Por qué es esto claramente cierto? (Aunque la intuición me parece "clara" ya que $\varepsilon_k$ pueden ser vistos como signos aleatorios independientes, no tengo una prueba).

Answer 1

Tenga en cuenta que $-\epsilon_{i}\stackrel{d}{=}\epsilon_{i}$ (iguales en distribución) y $\epsilon_i$ se distribuyen idénticamente, por lo que $$ P\left( \sum_{n=1}^N \epsilon_{k}a_k\leq -\lambda \right)=P\left(\sum_{n=1}^N(-\epsilon_k)a_k\geq \lambda\right)=P\left( \sum_{n=1}^N(\epsilon_k)a_k\geq \lambda \right) $$

Answer 2

Acabo de darme cuenta después de publicar la pregunta que tengo una respuesta. (Se admiten alternativas).

Basta con demostrar que la variable aleatoria $$ Z=-Y=\sum_{k=1}^N(-\varepsilon_k)a_k $$ tiene la misma distribución que la de $Y$ . Pero claramente , $\varepsilon_k$ es simétrica: $$ P(\varepsilon_k=1)=P(-\varepsilon_k=1),\quad P(\varepsilon_k=-1)=P(-\varepsilon_k=-1). $$ Por lo tanto $Z_k=(-\varepsilon_k)a_k$ y $Y_k=\varepsilon_ka_k$ están idénticamente distribuidos. Dado que $Y_1,\cdots,Y_N$ son independientes, también lo son $Z_1,\cdots,Z_N$ . De ello se deduce que $Z=\sum Z_k$ y $Y=\sum Y_k$ tienen las mismas transformadas de Fourier (funciones características): $$ E(e^{itZ})=\prod_k E(e^{itZ_k})=\prod_k E(e^{itY_k})=E(e^{itY}) $$

y, por tanto, la misma distribución.