Relatividad sin constancia de la velocidad de la luz

Question

Utilizando la homogeneidad del espacio, la isotropía del espacio y el principio de relatividad (sin la constancia de la velocidad de la luz), se puede derivar:

$$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1+\kappa v^2}}$$

$$t' = \frac{t+\kappa vx}{\sqrt{1+\kappa v^2}}$$

$\kappa = 0$ denota Galileo y $\kappa < 0$ denota la transformación de Lorentz.

¿Qué significa $\kappa > 0$ ¿denota? ¿Es físicamente posible? Me han dicho que es autoinconsistente. ¿Puede alguien ayudarme con una prueba de esto?

Answer 1

$\kappa > 0$ representa la geometría euclidiana, en la que el eje temporal es equivalente (y libremente intercambiable) con los espaciales. En otras palabras, actúa como un cuarto espacial dimensión.

Así, por ejemplo, puedes girar a la izquierda en el eje temporal y avanzar, y luego dar la vuelta y retroceder en el tiempo. Muchos consideran esto no físico, dejando la elección entre $\kappa = 0$ (Transformación galileana) y $\kappa < 0$ (Transformación de Lorentz).

Answer 2

Como se dice en la respuesta de @m4r35n357 es el caso de la geometría euclidiana. Para ver esto, mira las transformaciones, que preservan la distancia : $$ds^2 = dx^2 + dt^2$$

Además de las traslaciones, también hay rotaciones: $$ \begin{pmatrix} t^{'} \\ x^{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \end{pmatrix} $$ Fíjese, por ejemplo, en la primera fila. Después de definir $v = \tan \theta$ en realidad es el $t$ transformación, con $\kappa = 1$ : $$ t^{'} = \frac{t + v x}{\sqrt{1 + v^2}} $$ Esta geometría se obtiene a partir del espacio de Minkowski mediante Rotación de la mecha $t \rightarrow i t$ . Es matemáticamente consistente y correcto, sin embargo, nuestro mundo está descrito por la métrica (en el caso plano), con el signo menos entre $dx^2$ y $dt^2$ .

Answer 3

Como se indica en casi todas las respuestas, $\kappa>0$ define efectivamente un conjunto de transformaciones que preserva la métrica euclidiana, con el grupo de Lorentz $SO(1,3)$ siendo sustituido por $SO(4)$ . Aunque esto tiene sentido matemático, hay una inconsistencia física interna, que muestra que un universo con $\kappa>0$ no es posible.

Para mostrar la incoherencia, primero observemos que la homogeneidad e isotropía del espacio junto con el principio de relatividad no sólo nos da las transformaciones del espaciotiempo, sino que también nos da la regla de adición de velocidades $^*$ que se parece a $$w=\frac{u+v}{1-\kappa uv} .$$ Desde $\kappa>0$ Supongamos $\kappa=1/c^2,\ c\in\mathbb R,\ c<\infty$ . Entonces $$w=\frac{u+v}{1- uv/c^2}.$$ Primero demostramos que existe una velocidad mayor que $c$ . Para demostrarlo, consideremos $u=c/2=v$ . Entonces $w=c/(3/4)=4c/3>c$ .

Ahora, dejemos que $\gamma_u=1/\sqrt{1+\kappa v^2}=1/\sqrt{1+v^2/c^2}$ . La transformación del espaciotiempo nos dice que $\gamma_0=1$ y por tanto la raíz cuadrada en $\gamma_u$ es la raíz cuadrada positiva y por tanto $\gamma_u>0\ \forall u\in \mathbb R$ .

Los postulados asumidos también nos permiten derivar $^*$ $$\gamma_w=\gamma_u\gamma_v(1-\kappa uv)=\gamma_u\gamma_v(1-uv/c^2).$$

Considere $u,v$ tal que $uv>c^2$ . Esto es posible porque existen velocidades superiores a $c$ como hemos demostrado. Entonces $1-uv/c^2<0\Rightarrow \gamma_w=\gamma_u\gamma_v(1-uv/c^2)<0\Rightarrow \gamma_w<0$ lo cual es una contradicción.

Esta es la incoherencia interna. Los postulados no permiten un universo con $\kappa>0$ .

$\rule{20cm}{0.4pt}$

$^*$ La derivación de estos hechos se muestra muy bien en este documento . Es sencillo y conciso, y la prueba de la incoherencia también está en el documento.

Answer 4

En la literatura de filosofía de la física se ha debatido mucho sobre las velocidades unidireccionales de la luz y la simultaneidad, etc. Reichenbach introdujo el parámetro $\epsilon$ lo que da la velocidad de la luz (unidireccional) en direcciones opuestas como $c/2\epsilon$ y $c/2(1-\epsilon)$ . Aquí $c$ es la velocidad "bidireccional" de la luz, que puede medirse experimentalmente.

Una forma de interpretar esta discusión es como la relatividad ordinaria pero descrita en un hiperplano "inclinado": uno que no es ortogonal a la velocidad 4 del observador. Este es el enfoque de artículos como Ungar 1991, véase la ecuación 9 para las transformaciones de Lorentz unidireccionales. No he analizado su $\kappa$ específicamente. Pero es ciertamente consistente describir la relatividad usando coordenadas que están inclinadas en relación a un observador(es) dado(s).