secuencia de progresión aritmética , $\gcd(a,b)=1$

Question

Tengo una pregunta sobre la progresión aritmética.

para un número natural $k>1$ la secuencia : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

su longitud es $K$

Tengo que elegir $L$ > 0 Número natural que hace que cada número de la secuencia sea relativamente primo.

y $a[i]-a[i-1]=d$ estático

(sin divisor común con ningún otro número de la secuencia $\gcd(a,b)=1$ )

Answer 1

Sea $a_i = iL + 1$ para $i = 1,\ldots K$ .

Para cualquier $i \ne j$ , dejemos que $d = \gcd(a_i,a_j)$ .

Desde $d$ divide ambos $a_i$ y $a_j$ , $d$ divide $ia_j - ja_i = i-j$ .

Desde $1 \le i,j \le K$ tenemos $1 \le |i-j| \le K-1$ . Esto implica $$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

Si elegimos $L$ sea cualquier múltiplo de $(K-1)!$ entonces $d|L$ . Como resultado,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

Desde $i, j$ son arbitrarios, esto significa que siempre que $L$ es múltiplo de $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$ todos $a_i, a_j$ son primos relativos entre sí.

Nota

• $\color{blue}{[1]}$ - Si desea un $L$ puede sustituir $(K-1)!$ por ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ y que también funcionan.