Banda de Möbius con múltiples giros

Question

La banda de Möbius se obtiene a partir de una banda cerrada fijando un extremo, dando media vuelta al otro y pegando los extremos.

Me pregunto qué ocurre si no se da media vuelta, sino varias (medias) vueltas en un extremo.

Preguntas:

1. ¿Es el espacio resultante homeomorfo a la clásica banda de Möbius?
2. Si no son homeomorfas, ¿son homotópicamente equivalentes?

Answer 1

Cualquier espacio construido de este modo se retrae por deformación al círculo central, por lo que todos ellos son homotópicamente equivalentes a $S^1$ .

Creo que el estudio de las clases de homeomorfismo de estos objetos es un ejercicio interesante, así que lo dejaré para ti con las siguientes pistas como guía:

1. El homeomorfismo no depende de ninguna incrustación; es una propiedad intrínseca. Así que "número de giros", que es definitivamente una propiedad extrínseca (en este caso, proviene de la relación entre el espacio y su inmersión en $\mathbb{R}^3$ ) no va a ser tan útil como querrías para clasificar hasta el homeomorfismo.

2. En su lugar, puede ser útil pensar en estos espacios intrínsecamente, en particular como cocientes del cuadrado $[0,1]\times [0,1]$ . Para ello, piensa cómo "pegarías" el cuadrado para producir estas tiras de múltiples vueltas.

3. Fíjate en que el cuadrado no "sabe" cuántas veces lo has girado. Sólo sabe cómo lo has pegado. ¿Puedes formalizar esto en una prueba sobre homeomorfismos entre tiras retorcidas de forma diferente?

4. Basándote en el resultado de (3), ¿puedes clasificar todas esas bandas retorcidas en tipos de homeomorfismo?