Vector propio de cuadrado mágico

Question

Estoy tratando de mostrar:

Un "cuadrado mágico" $A$ es el % de matriz $n\times n$con ranuras $1,2,\cdots, n^2$ tales que la suma de los elementos de cada fila (y columna) es el mismo. Demostrar que $\frac{n(n^2+1)}{2}$ es un valor propio de la matriz $A$.

Estaba tratando de hacer una prueba con una propuesta: "$\beta$ es un valor propio de $A$ si y sólo si $\det(A-\beta I_n)=0$ «, I es la matriz idetity $n\times n$. Pero no puedo hacerlo.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si las sumas de cada fila de una matriz $A$ $k$ $k$ es un valor propio, vector propio $v=[1,1,\ldots,1]^T$. De hecho, todas las entradas del vector $Av$ equivalen a $k$ trivial, así $Av=kv$.

Answer 2

$\begin{bmatrix}1&1&1&\dots&1\end{bmatrix}^T$ es un vector propio ya que la suma de todas las filas debe ser la misma. La suma de todos los elementos de una $n\times n$ plaza debe ser $\frac{n^2(n^2+1)}{2}$. Esta división entre las filas de $n$ rendimientos que cada fila debe suma a $\frac{n(n^2+1)}{2}$, por lo tanto, $$ M\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}=\frac{n(n^2+1)} {2}\begin{bmatrix}1\\1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix} $$ esta es esencialmente de SL2 idea, pero me a llenado en algunos puntos.