Cinco círculos en un rectángulo: ¿pueden moverse los círculos?

Question

Cinco círculos unitarios están en un rectángulo. Al principio, sus centros son los vértices de un pentágono regular, y cada círculo es tangente a otros dos círculos y a una arista del rectángulo.

¿Pueden moverse los círculos sin superponerse?

A continuación publicaré mi respuesta. Espero obtener una respuesta más intuitiva.

Answer 1

Sí, pueden moverse.

Supongamos que el círculo superior se mueve hacia la derecha una pequeña distancia $t$ . Demostraremos que ninguno de los círculos se superpone, aplicando el teorema de Pitágoras alrededor del anillo de círculos.

$p=2\left(1+\sin{\frac{\pi}{5}}+\sin{\frac{2\pi}{5}}\right)$
$q=4\left(1+\cos{\frac{2\pi}{5}}\right)$
$a=2\cos{\frac{\pi}{5}}-t$
$b=\sqrt{4-a^2}$
$c=p-2-b$
$d=\sqrt{4-c^2}$
$e=q-4-d$
$f=\sqrt{4-e^2}$
$g=p-2-f$
$h=q-2-a$

$\sqrt{g^2+h^2}$ es una función creciente de $t$ y $\sqrt{g^2+h^2}=2$ cuando $t=0$ .

$\therefore \sqrt{g^2+h^2}>2$ cuando $t>0$ .

Esto significa que cuando el círculo superior se desplaza hacia la derecha, puede separarse del círculo situado a su izquierda. Así, los círculos pueden moverse sin solaparse.

En este animación desmos se puede ver que los círculos se pueden mover, ajustando el $t$ deslizante.

(Creo que el caso general es: Si círculos de cualquier tamaño son cada uno internamente tangente a exactamente una arista de un polígono convexo, entonces los círculos pueden moverse sin superponerse).

Answer 2

Para el círculo unitario, la longitud del rectángulo es la diagonal del pentágono + $2$ es decir $$2\cdot \frac{1+\sqrt 5}{2}+2=3+\sqrt 5=5.2361$$ La altura del rectángulo es $$2\cdot \sqrt{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2=5.0777$$ como en la siguiente imagen de Geogebra, ya que $$\frac{5.2361}{5.0777}=\frac{14.33}{13.90}=1.031$$ Hice un marco de madera con esta forma, del tamaño justo para sostener un conjunto pentagonal regular de cinco monedas de 25 centavos estadounidenses, y pude girarlas fácilmente hasta la posición que se muestra en la siguiente figura. Si se cambiara el rectángulo por un cuadrado de lado $13.96$ los cuartos encajarían simétricamente alrededor de la diagonal y serían más compactos que en la disposición original, ya que $$13.96^2<14.33\times13.90$$

Pero incluso sin alterar el rectángulo, los círculos tienen espacio para pasar a la segunda posición. Aparte de la experimentación física, es prima facie un uso más económico del espacio -la disposición es más compacta- con tres círculos apiñados en una esquina (segunda posición) que con sólo dos a lo largo de un lado y las esquinas desocupadas (primera posición).

Answer 3

Este es un largo comentario sobre @Edward Porcella's responder .

No siempre se da el caso de que los círculos puedan pasar de una disposición menos económica a otra más económica, incluso con la condición de que cada círculo sea tangente a otros dos círculos. He aquí un ejemplo.

Consideremos el empaquetamiento de tres círculos iguales en la región delimitada por $y=x^2$ y $y=2-x^2$ .

Disposición $A$ :

Disposición $B$ :

En este gráfico de desmos deslizando $G$ (círculo verde), $R$ (círculo rojo), y $B$ (círculo azul), puede verlo:

• En disposición $A$ los círculos no pueden moverse sin solaparse.
• Disposición $B$ es más económico que el Arreglo $A$ .

Answer 4

Pista.

Imaginemos que tenemos $p_1 = -d\sin\theta\hat j$ y $p_2 = d\cos\theta\hat i$ y tenemos $\|p_1-p_2\|^2 = d^2$ En $ \frac{d}{dt}\|p_1-p_2\|^2 = 2(p_1-p_2)\cdot (\dot p_1-\dot p_2) = 0$ . Aquí tenemos $\dot p_1 = -d\cos\theta\dot\theta\hat j$ y $\dot p_2 = -d\sin\theta\dot\theta\hat i$ y como puede comprobarse, $(p_1-p_2)\cdot (\dot p_1-\dot p_2) = 0$ por lo que es posible un desplazamiento virtual.