¿La base de cada subespacio de un espacio vectorial es un subconjunto de la base del espacio vectorial?

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial con una base $\beta$ y $W\subset V$ y el subespacio de $V$ . ¿Hay siempre un $\beta_{W} \subset \beta$ tal que $\beta_{W}$ es una base para $W$ ?

Tengo la sensación de que no se sostiene, pero me cuesta pensar en un contraejemplo. ¿Alguien puede darme una pista sobre dónde encontrar un buen contraejemplo?

Answer 1

Desde luego que no: Para cualquier campo $\mathbb{F}$ Consideremos la base $((1, 0), (0, 1))$ de $\mathbb{F}^2$ . Ni $(1, 0)$ ni $(0, 1)$ abarca el subespacio formado por $(1, 1)$ .