La pregunta es: ¿Cuál es la relación de equivalencia R, inducida por la partición P de A? (A, P están dados)
No entiendo qué significa "inducido por".
Respuestas
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Existe una conexión natural particular entre las relaciones de equivalencia y las particiones. Cada partición corresponde a una relación de equivalencia, y cada relación de equivalencia corresponde a una partición. Avanzando y retrocediendo a lo largo de esta correspondencia volverás al punto de partida.
La correspondencia es ésta: Dada una partición, cada elemento está relacionado con cada elemento de la misma parte, y nada más. De la otra manera: Dada una relación de equivalencia, una parte de la partición viene dada por un conjunto máximo de elementos relacionados entre sí.
Esta correspondencia es lo que ellos entienden por "la relación de equivalencia inducida por la partición".
Sospecho que utilizan la palabra "inducir" porque la correspondencia se basa en una construcción concreta para llegar de una a otra. No todas las correspondencias naturales son así.
dmay
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Izaak van Dongen
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Eso significaría que piensas en la partición $P$ como dando las clases de equivalencia de la relación $R$ Así que $aRb$ si y sólo si existe un $S \in P$ tal que $a, b \in S$ .
De este modo, las relaciones de equivalencia y las particiones son en cierto modo intercambiables: cualquier relación de equivalencia corresponde exactamente a una partición del conjunto, que son las clases de equivalencia.
freakish
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Sea $P$ sea una partición de $X$ . Entonces induce una relación de equivalencia $\sim_P$ tal que $x\sim_P y$ sólo si $x,y$ pertenecen al mismo elemento de $P$ .
Por el contrario, si $\sim$ es una relación de equivalencia, entonces induce una partición $P_\sim:=\{[x]_\sim\ |\ x\in X\}$ donde $[x]_\sim=\{y\in X\ |\ y\sim x\}$ .
La buena propiedad de estas operaciones es que son inversas entre sí:
$$P_{\sim_P}=P$$ $$\sim_{P_\sim}=\sim$$
En otras palabras, las particiones y las relaciones de equivalencia son lo mismo.
