gradiente flujo en $SU(n)$

Question

Definir el costo funciones $f_1, f_2 :SU(n) \rightarrow \mathbb{R}$ $f_1(U) = Re \left( \text{Tr}\left(G^{\dagger} U \right) \right)$ y $f_2(U) = \left| \left( \text{Tr}\left(G^{\dagger} U \right) \right) \right|^2$ $G \in SU(n)$ fijo.

¿Cuáles son lo % de gradientes $\nabla f_1, \nabla f_2$de estas funciones y cómo puede expresarse?

Answer 1

Así que vamos a hacer $f_2$. Lo que usted necesita hacer es primero averiguar el derivado en $M_n$, y luego el proyecto en $SU(n)$. Es decir, nos identificar las $\mathfrak{su}(n)$ con su dual a través del producto interior $\langle U,V \rangle = \text{Re}\bigl(\text{Tr}(U^\dagger V)\bigr)$. (Usted necesita para hacer este tipo de identificación, si se quiere averiguar el flujo de gradiente, debido a $U^{-1} \frac{dU}{dt}$ tiene que ser en $\mathfrak{su}(n)$.) Tenga en cuenta que estoy pensando en $SU(n)$ $\mathfrak{su}(n)$ como una Mentira grupo o Mentira álgebra, respectivamente, en los números reales, no los números complejos.

Así que si $V \in \mathfrak{su}(n)$, $U \in SU(n)$ hemos $$ f_2(U(I + \epsilon V)) = f_2(U) + \epsilon \langle \nabla f_2,V \rangle + O(\epsilon^2) .$$ Multiplicando, obtenemos $$ \langle \nabla f_2,V \rangle = 2 \text{Re} \bigl(\overline{\text{Tr}(G^\dagger U)} \, \text{Tr}(G^\dagger U V) \bigr) = 2 \text{Re} \bigl(\text{Tr}(H^\dagger U V) \bigr) ,$$ donde $$ K = \text{Tr}(G^\dagger U) \, G . $$ Así que podemos ver que $$ \nabla f_2 = 2 U^\dagger K + \Lambda ,$$ donde $\Lambda \in \mathfrak{su}(n)^\perp$ es el "multiplicador de Lagrange" tal que $\nabla f_2 \in \mathfrak{su}(n)$. Aquí $$\mathfrak{su}(n)^\perp = \{\Lambda \in M_n : \text{$\langle \Lambda,W\rangle = 0$ for all $W \en \mathfrak{ub}(n)$}\} ,$$ Después de algunos reflexión, te das cuenta de que $\mathfrak{su}(n)^\perp$ es el espacio de Hermitian matrices, y que $\nabla f_2$ es el anti-Hermitian parte de $2 U^\dagger K$, que es $$ \nabla f_2 = U^\dagger K - K^\dagger U .$$ Por lo que el gradiente de flujo es $$ \frac{dU}{dt} = U \, \nabla f_2 = K - U K^\dagger U .$$