Teorema sobre conjuntos densos y cerrados

Question

Sea X un espacio topológico. Un subconjunto $A \subset X$ se dice que es denso en $X$ si $\overline{A}=X$ . $A$ se dice que no es denso en ninguna parte en $X$ si $(\overline{A})^{°}=\emptyset$ . Si $A\subset X$ está cerrado, entonces $A$ no es denso en ninguna parte de $X$ si $X\setminus A$ es denso en $X$ . ¿Es válido este teorema para cualquier conjunto?

Estoy absolutamente confundido y desorientado para empezar la argumentación. ¿Tiene alguna pista, para empezar o pensar en?

Gracias.

Answer 1

Sí, un teorema válido en cualquier espacio $X$ para cualquier subconjunto $A$ es:

$$X \setminus A^\circ = \overline{X \setminus A}$$ de lo que su hecho se sigue inmediatamente.

( $x$ no está en el interior de $A$ si no hay ningún conjunto abierto que contenga $x$ que se queda dentro $A$ si todo conjunto abierto que contiene $x$ se cruza con $X \setminus A$ si $x$ está en el cierre de $X\setminus A$ .)

Answer 2

Desde $X \setminus A$ es denso en $X$ , $\overline{X \setminus A} = X$

$\Rightarrow X \setminus A^{\circ} = X$

$\Rightarrow A^{\circ} = \emptyset$

$\Rightarrow \overline{A}^{\circ} = \emptyset \quad$ desde $A$ es cerrado, lo que implica que $A$ no es denso en ninguna parte de X.

Edición: Demostramos que $\overline{X \setminus A} = X \setminus A^{\circ}$ demostrando que están contenidos el uno en el otro: Sea $A'$ representan el conjunto de puntos límite de $A$ . Considere $x \in \overline{X \setminus A} = X \setminus A \cup \left(X \setminus A \right)'$

Si $x \in X \setminus A \subseteq X \setminus A^{\circ}$ (ya que $A^{\circ} \subseteq A$ siempre)

$\Rightarrow \overline{X \setminus A} \subseteq X \setminus A^{\circ}$

Por otra parte, si $x \in \left(X \setminus A \right)'$ entonces $\forall \, \epsilon > 0$ que tenemos:

$N_{\epsilon}(x) \cap \left(\left(X \setminus A \right)\setminus \{x\}\right) \neq \emptyset$

$\Rightarrow N_{\epsilon}(x)\not\subseteq \left( X \setminus \left(X \setminus A\right) \setminus \{x\} \right) = A \cup \{x\}$

$\Rightarrow N_{\epsilon}(x) \not\subseteq A$

Así que $x$ no es un punto interior de $A$ .

$\Rightarrow x \in X \setminus A^{\circ}$

$\Rightarrow \overline{X \setminus A} \subseteq X \setminus A^{\circ} $

A la inversa $x \in X \setminus A^{\circ}$

$\Rightarrow \forall \, \epsilon > 0 \, \, N_{\epsilon}(x) \not \subseteq A$

$\Rightarrow N_{\epsilon}(x) \cap X \setminus A \neq \emptyset $

$\Rightarrow x$ es un punto límite de $A$ o un punto de $A$ o ambos,

$\Rightarrow x \in X \setminus A \cup \left(X \setminus A \right)' = \overline{X \setminus A}$

$\Rightarrow X \setminus A^{\circ}\subseteq \overline{X \setminus A}$

Así $X \setminus A^{\circ}= \overline{X \setminus A}$