$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V$ para que $x - \varepsilon < v$ sólo si $x = \sup V$

Question

Intento demostrar que, dado un conjunto acotado no vacío $V$ para que $V \subset \mathbb{R}$ que un límite superior $x \in \mathbb{R}$ es un supremo de V si y sólo si $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V$ para que $x - \varepsilon < v$

Ya he demostrado que $x = \sup V$ implica $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V$ para que $x - \varepsilon < v$

pero estoy atascado en el reverso. He intentado probarlo por contradicción, pero no consigo nada. Entiendo que, si asumimos $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V$ para que $x - \varepsilon < v$ y que $x \neq \sup V$ debemos aceptar que existe un $y \in \mathbb{R}$ para que $y = \sup V$ Considerando todos los subconjuntos acotados no vacíos de $\mathbb{R}$ tienen un subconjunto. Pero no llego a ninguna parte. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x = \sup V$

Por definición $x$ es el límite superior más pequeño de $V$ .

Sea $\epsilon>0$ . Supongamos que no hay $v$ tal que $x-\epsilon<v$ esto implica que $\forall v,x-\epsilon\ge v$ Así pues $x-\epsilon$ es un límite superior de $V$ menor que $x$ lo cual es imposible.

Por lo tanto $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V,x-\epsilon<v$

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Editar : mi error, que quería la otra manera. Aquí está :

Tenemos $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists v \in V,x-\epsilon<v$ .

Sea $x'=\sup V$ .

• Si $x'<x$ entonces por definición esto es absurdo eligiendo $\epsilon<x-x'$
• Si $x'>x$ entonces $x$ es un límite superior de $V$ menor que $x'$ que es imposible

Por lo tanto $x=\sup V$