¿Cuál es la relación entre $\sum_{n=0}^\infty f(n) x^n$ y $-\sum_{n=1}^\infty f(-n) x^{-n}$ ?

Question

Fondo

Tomando una combinación relativamente arbitraria de términos exponenciales y polinómicos, por ejemplo $$\sum_{n=0}^\infty \left(n^{2}\sin\left(n\right)+n\cos\left(3n-2\right)\right)\cos\left(5n+1\right)x^{n}$$ se encontrará que esta serie es "milagrosamente" continuada analíticamente por la misma serie excepto con $n$ sustituido por $-n$ (además, con un signo negativo adicional y el índice a partir de $n=1$ ). En particular, la primera serie tiene una continuación analítica para $|x|>1$ dada por $$-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(-n\right)^{2}\sin\left(-n\right)-n\cos\left(3\left(-n\right)-2\right)\right)\cos\left(5(-n)+1\right)x^{-n}$$

En general, cuando $P(n) = \sum_{k=0}^N a_k n^k$ es un polinomio, entonces $\sum_{n=0}^\infty P(n)x^n$ se continúa analíticamente por $- \sum_{n=1}^\infty P(-n)x^{-n}$ . Asimismo, cuando $F(n) = \sum_{k=0}^N a_k e^{i \theta_k n}$ es una serie de Fourier, entonces $\sum_{n=0}^\infty F(n) x^n$ se continúa a $-\sum_{n=1}^\infty F(-n)x^{-n}$ . El segundo resultado puede generalizarse a cuando $F(n)$ es casi periódica, e imagino que se puede encontrar un resultado similar cuando $P(n)$ es "casi polinómica" según una definición adecuada.

Una heurística potencial de por qué se mantiene esta relación puede encontrarse considerando el teorema del residuo. Si $(-1)^n f(n)$ es una función entera en condiciones de crecimiento suficientes, entonces $\frac{1}{2 i} \int_{-1/2 - i\infty}^{-1/2 + i \infty} f(n) \csc(\pi n)$ es igual a $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n f(n)$ y $-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n f(-n)$ considerando un rectángulo grande que cubra todo lo que hay a la derecha del contorno, o uno que cubra todo lo que hay a la izquierda (el signo negativo procede de cambiar la orientación del contorno).

Sin embargo, esta heurística no cuenta toda la historia. Consideremos la función $\frac{d}{dx}\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}$ y su correspondiente serie de Taylor $\sum_{k=0}^\infty (k+1) \zeta(k+2)(-x)^k$ . $\zeta$ crece demasiado en la dirección negativa, por lo que el contorno no converge y no podemos soportar el cambio de dirección del contorno. No obstante, resulta que la serie $$-\sum_{k=1}^\infty (-k+1) \zeta(-k+2)(-x)^{-k}$$ (donde entendemos $0\cdot \zeta(1)=1$ ) prolonga asintóticamente la serie original. En particular, si fijamos $N$ entonces $\lim_{x \to +\infty} \sum_{k=1}^N (-k+1)\zeta(-k+2)(-x)^{-k} = \frac{d}{dx} \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}$ . De hecho, tomando sólo los 10 primeros términos de la suma se obtiene una aproximación en la que la diferencia entre la serie y la función en $x=3$ es inferior a $10^{-6}$ (y disminuye a cero a medida que $x$ se hace grande).

Otro caso se da con funciones como $\sum_{n=0}^\infty \sin(\sin(n))x^n$ que continúa con $-\sum_{n=1}^\infty \sin(\sin(-n))x^{-n}$ . En este caso, analizar la relación entre las dos funciones utilizando el teorema del residuo parece aún menos claro, ya que $\sin(\sin(z))$ sólo sigue siendo pequeño cuando $z$ tiene una pequeña parte imaginaria.

Por último, debo señalar que está claro que hay casos en los que $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nf(n)x^n \neq -\sum_{n=1}^\infty (-1)^nf(-n)x^{-n}$ . Por ejemplo, si elegimos $f(n) = \frac{1}{n^2+1}$ entonces $f(n) =f(-n)$ . Sin embargo, en casos sencillos como éste podemos salvar la relación utilizando el teorema del residuo para recoger los polos adicionales de la recta real, de modo que, por ejemplo $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{n^2+1} = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{-n}}{n^{2}+1}+\pi\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\operatorname{csch}\left(\pi\right)$$

Pregunta

A la luz de estos ejemplos, siento curiosidad por las caracterizaciones generales sobre la relación entre $F(x)=\sum_{n=0}^\infty f(n)x^n$ y $F_2(x)=-\sum_{n=1}^\infty f(-n) x^{-n}$ . Algunas preguntas que me vienen a la mente son

1. ¿Cómo se conectan estas sumas cuando $f(n)$ es una función entera, pero diverge lo suficientemente rápido en $\pm i \infty$ para que no se pueda aplicar el teorema del residuo?
2. ¿Existen otras clases generales de funciones en las que $F(x)$ se continúa analíticamente hasta $F_2(x)$ ? ¿Existen amplias clases de funciones en las que falle la relación?
3. ¿Cómo se relacionan las sumas cuando $F(x)$ es una serie divergente, por ejemplo $f(n)=(\alpha n)!$ ou $f(n) = (n^2)^n$ .
4. ¿Hay casos en los que $F(x)$ y $F_2(x)$ están relacionadas de algún modo, pero no son continuaciones analíticas la una de la otra?
5. ¿Existe unicidad, en el sentido de que si $\sum_{n=0}^\infty f(n) x^n = \sum_{n=0}^\infty g(n) x^n$ también debemos tener $-\sum_{n=1}^\infty f(-n)x^{-n} = -\sum_{n=1}^\infty g(-n)x^{-n}$

Edición: El enfoque de los residuos

He añadido esta sección para dar un poco más de detalle sobre lo que estoy pensando con el enfoque de los residuos. En relación con la respuesta de Alexandre, me parece interesante que este enfoque parece dejar de funcionar precisamente en el mismo punto en el que $f(n)$ ya no está determinada unívocamente por sus valores en los números enteros (por una aplicación del teorema de Carlson).

Podemos aplicar el teorema del residuo para analizar sumas de la forma $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n f(n)x^n$ donde $x>0$ y y $f$ es una función entera de tipo exponencial menor que $\pi$ (es decir $|f(r e^{i \theta})| < Me^{\pi r}$ ). Con esta última restricción sobre la tasa de crecimiento de $f$ mediante algunas manipulaciones algebraicas podemos obtener para el semiplano derecho $\lim_{|z| \to \infty} f(z)x^z csc(\pi z) = 0$ cuando $x \leq \frac{1}{e^{\pi}}$ . En $f(z)$ es una función entera, entonces, tenemos que $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n f(n)x^n = \frac{1}{2i}\int_C \csc(\pi z) f(z) x^z dz$$ Dónde $C$ es un contorno rectangular cuya altura y anchura llegan hasta el infinito. Sin embargo, todos menos el contorno en $Re(z) = -\frac{1}{2}$ ir a cero por las condiciones de crecimiento, y así $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n f(n) x^n = \frac{1}{2i}\int_{-\frac{1}{2}- i \infty}^{-\frac{1}{2}+ i \infty} f(z)x^z \csc(\pi z)dz$ para $x< \frac{1}{e^{\pi}}$ . Sin embargo, mientras la integral sea analítica, ahora tenemos dos fucniones analíticas que coinciden en un conjunto con un punto límite, por lo que representan la misma función analítica. Además, el contorno sigue convergiendo incluso cuando la suma original no lo hace, por lo que la integral de contorno continúa analíticamente la función original. Además, cuando $x> e^{\pi}$ entonces el $f(z) \csc(\pi z)x^z$ es pequeño para los valores del plano medio izquierdo. Así, obtenemos $$\frac{1}{2i} \int_{-\frac{1}{2}- i \infty}^{-\frac{1}{2}+ i \infty} f(z)x^z \csc(\pi z)dz = \frac{1}{2i} \int_{C_2} f(z)x^z \csc(\pi z)dz = -\sum_{n=1}^\infty (-1)^nf(-n)x^{-n} $$ Dado que las otras piezas del contorno $C_2$ son cero (es decir, todas las aristas excepto aquella en la que $Re(z)=\frac{1}{2}$ ). $C_2$ es un rectángulo de anchura y altura infinitas orientado en dirección opuesta a $C$ dada por esta imagen

En caso de que $f(n)$ no es entero, entonces normalmente podemos desplazar el contorno original a la línea $Re(z) = c$ de modo que todos los polos de $f$ están a la izquierda de $c$ . Entonces obtenemos que, para $x< \frac{1}{e^{\pi}}$
$$\sum_{0 \leq n < c} (-1)^n f(n) x^n + \frac{1}{2i}\int_{c+C_{\rightarrow}} f(z) x^z \csc(\pi z) dz = \\ \sum_{0 \leq n < c} (-1)^n f(n) x^n + \frac{1}{2i}\int_{c-i \infty}^{c + i \infty} f(z) x^z \csc(\pi z) dz=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n f(n) x^n$$ donde $c+C_{\rightarrow}$ es el contorno rectangular que cubre todo lo que hay a la derecha de $Re(z) = c$ . Y de nuevo por $x>e^{\pi}$ podemos cambiar la dirección del contorno, y esto nos da que $$\sum_{0 \leq n < c} (-1)^n f(n) x^n + \frac{1}{2i}\int_{c+C_{\leftarrow}} f(z) x^z \csc(\pi z) dz = \\ \sum_{0 \leq n < c} (-1)^n f(n) x^n + \frac{1}{2i}\int_{c-i \infty}^{c + i \infty} f(z) x^z \csc(\pi z) dz=\\-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n f(-n) x^{-n} + \frac{1}{2i} \sum_{} \text{Res}(f(z)\csc(\pi z)x^z, a_k)$$ Convenientemente, los términos adicionales $\sum_{0 \leq n < c} (-1)^n f(n) x^n$ que se añadieron en un principio se anulan ya que el $C_{\leftarrow}$ recorre esos mismos puntos en dirección opuesta.

Answer 1

En primer lugar, para dar sentido a $f(-n)$ necesitamos algunas suposiciones sobre $f$ . Por ejemplo deje $$\sum_{n=0}^\infty f(n)z^n\quad\quad\quad\quad (1)$$ sea una serie con radio de convergencia positivo. Entonces siempre existe una función entera de tipo exponencial que interpola $f(n)$ . Pero una función de este tipo no suele ser única. La unicidad es necesaria para definir $f(-n)$ . Además, se necesita el hecho de que (1) SÍ TIENE una continuación analítica, para discutir una fórmula para ella.

Para hacer $f$ único, y para asegurar una continuación analítica, una posible suposición es que el tipo exponencial es menor que $\pi$ . Más concretamente, tenemos el siguiente teorema de F. Carlson.

Si $f$ es una función entera de tipo exponencial, y $\overline{K}$ es su diagrama indicador conjugado, entonces la serie de potencias (1) tiene una continuación analítica en la componente conexa del complemento de $e^{-K}$ que contiene $0$ .

Así que si $e^{-K}$ no separa $0$ y $\infty$ nuestra función tiene una continuación analítica en una vecindad de $\infty$ , con series de Laurent $$-\sum_{1}^\infty f(-n)z^{-n}.$$ Véase, por ejemplo, L. Bieberbach, Analytische Fortsetzung, Springer 1955, sección 1.3.

Este teorema de Carlson no cubre todos tus ejemplos, pero esta sección de Bieberbach menciona muchas versiones y generalizaciones.

Observaciones. Lo más probable es que la serie de potencias $$\sum_{n=1}^\infty z^n\sin\sin n$$ no tiene continuación analítica (el círculo unitario es la frontera natural). Lo escribo por analogía con las series de potencias con coeficientes aleatorios: la sucesión $\sin\sin n$ se comporta de forma aleatoria. Véase https://arxiv.org/abs/1409.2736 para series de Taylor con coeficientes casi periódicos. Pero fíjate: como he escrito más arriba, hay OTRA función entera $f$ que es de tipo exponencial y para el que $f(n)=\sin\sin n$ .

Answer 2

Convertiré mi comentario en una respuesta.

Una cuestión que estás barriendo implícitamente bajo la alfombra es que tenemos que ser capaces de dar sentido a la evaluación de $f$ en enteros negativos. Dada una serie de potencias arbitraria $\sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n$ a priori $f$ es una función cualquiera $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{C}$ . Por supuesto, si $f$ viene dada por alguna expresión en la que tiene sentido introducir $-n$ como tu $f(n) = (n^2\sin(n)+n\cos(3n-2))\cos(5n+1)$ entonces podemos dar sentido a $f(-n)$ .

Una clase de funciones $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ que pueden extenderse sensiblemente a los números enteros negativos son los que satisfacen a Recurrencia lineal (homogénea) (con coeficientes constantes) . Esto significa que hay $d \geq 0$ y números complejos $\alpha_1,\ldots,\alpha_d \in \mathbb{C}$ con $\alpha_d \neq 0$ tal que $$ f(n+d) + \alpha_1 f(n+d-1) + \cdots + \alpha_d f(n) = 0 $$ para todos $n \geq 0$ . Dada tal $f$ podemos definir $f$ en valores negativos "corriendo la recurrencia hacia atrás", es decir, fijando $$ f(-n) = \frac{-1}{\alpha_d}( f(-n+d) + \alpha_1 f(-n+d-1) + \cdots + \alpha_{d-1} f(-n+1))$$ para todos $n \geq 1$ .

Para tal $f$ se sabe que formalmente (es decir, como series de potencias formales, ignorando cuestiones de convergencia) tenemos $$ \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n = - \sum_{n=1}^{\infty} f(-n) x^{-n}.$$ Véase, por ejemplo, la Proposición 5.2 de la obra de Stanley Teoremas de reciprocidad combinatoria .

Obsérvese que es bien sabido que $f$ que satisface una recurrencia lineal es equivalente a la serie de potencias $F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n) x^n$ siendo una función racional $F(x)= P(x)/Q(x)$ donde $\mathrm{deg}(P(x)) < \mathrm{deg}(Q(x))$ . Esta es la clase de series $F(x)$ a los que se aplica este argumento.

Tenga en cuenta también que si $f$ satisface una recurrencia lineal entonces es una "combinación" de polinomios y funciones exponenciales en el sentido de que existen polinomios $P_1(x), \ldots, P_k(x) \in \mathbb{C}[x]$ y números complejos distintos distintos de cero $\gamma_1,\ldots,\gamma_k \in \mathbb{C}^{*}$ tal que $$ f(n) = P_1(n) \cdot \gamma_1^{n} + \cdots + P_k(n) \cdot \gamma_k^{n}$$ para todos $n \geq 0$ . Así que también podríamos definir $f(-n)$ enchufando ingenuamente $-n$ en esta fórmula.

EDITAR : Como Richard Stanley mencionó en los comentarios, continuar con esta idea de estudiar formal series de potencias cuyos coeficientes forman una secuencia que satisface alguna recurrencia, este tipo de reciprocidad se conoce también para $D$ -finito también conocido como holonómico $F(x)$ es decir, para $f(n)$ que son $P$ -recursivo (bajo algunas condiciones suaves); véase, por ejemplo, la sección 3 de su documento Series de potencias diferencialmente finitas .

Answer 3

Esto es sólo un comentario pero no tengo derecho y de todas formas será demasiado largo. Si empezamos con un ejemplo de juguete en el que $f(n)=1$ para todos $n$ entonces $F$ es la función $\frac 1{1-z}$ en el disco abierto, $F_2$ $\frac1{z-1}$ en su exterior. Quiero sugerir que el marco correcto para esto y para su pregunta es el de las distribuciones como valores límite de funciones holomorfas. Este marco fue introducido por Gottfried Köthe en 1952. El caso más natural es el de las distribuciones en el círculo unitario como valores límite de funciones que son analíticas en su complemento en el plano complejo. (Otro caso importante es el de las distribuciones en la recta real como valores límite de funciones analíticas en los semiplanos superior e inferior).

En el caso anterior estamos utilizando la representación de la distribución delta en el círculo unitario -el hecho de que las dos funciones sean continuaciones analíticas la una de la otra a través de este límite entre las dos regiones de analiticidad (con la excepción de la singularidad) corresponde a la desaparición de la distribución en este subconjunto abierto del círculo, es decir, el complemento de $1$ .

El caso en que $f$ es una potencia de $n$ puede tratarse de forma similar, utilizando derivadas superiores de $\delta$ . Tomando combinaciones lineales se trata entonces la situación en la que es un polinomio.

Como he dicho, esto no es una respuesta, pero espero que pueda ayudar a proporcionar un punto de vista adecuado para un enfoque sistemático.

El artículo inicial es "Die Randverteilung Analytischer Funktionen", Math. Zeit. 57 (1952), 13-33, por G. Köthe.

Answer 4

Esto también es sólo un comentario pero grande:

Quizá merezca la pena probar a dar vueltas con esta fórmula en funciones que no pueden continuarse analíticamente para ver qué surge. Intentar romper la fórmula podría revelar ideas sobre cómo funciona / dónde es importante.

Un ejemplo que me viene a la mente es la clásica función lacunar: $$ \sum_{n=0}^{\infty} x^{2^n} $$ que no puede continuarse analíticamente fuera del disco unitario.

Esta función puede escribirse como $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n\ln(2)} \frac{\sin(2\pi n)}{\sin(2\pi \log_2(n))} x^n \right]$$

Entonces es natural considerar la expresión

$$ -\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{-n \ln(2)} \frac{- \sin(2\pi n)}{\sin(2\pi \log_2(-n))} x^{-n} \right] = -\sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{n \ln(2)} \frac{\sin(2\pi n)}{\sin(2\pi \log_2(n)+\frac{2i\pi^2}{\ln(2)})} x^{-n}\right] $$

La reformulación de esta serie es en realidad 0 para todos los coeficientes con $n < 0$ sugiriendo que ninguna continuación analítica es posible usando la reformulación simple de esta manera así que eso es bueno (por lo menos confirma lo que ya sabemos) [tal vez mediante la aplicación de sus trucos de residuos que todavía podría ser capaz de extraer algo más de información fuera de aquí]

Podemos intentar otra Función Lacunar:

Consideremos la función $ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n^3} $ . Esta serie debe ser generada por

$$ M(x) \int_C e^{i \pi z} csc(\pi \sqrt[3]{z} ) x^z dz = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n^3}$$

Dónde creo $M(x) = \frac{1}{2ix^{\frac{2}{3}}}$ (aunque todavía tengo que entender mejor el truco de los residuos).

En cualquier caso, ignorando el multiplicador y sumando los residuos de los polos en el LHS y RHS sugiere entonces que

$$ - \sum_{n=1}^{\infty} x^{-n^3} $$

Es su "continuación" que graficamos a continuación

Los gráficos parecen alinearse bastante bien.

Podemos diferenciar esta cosa y realmente parece haber algo agradable cocinándose aquí incluso a nivel de los derivados:

Incluso podemos tomar una 2ª Derivada... y a unos 80 términos empieza a parecer convergencia:

Answer 5

Algunos comentarios ampliados:

Investigaciones de este tipo aparecen en la teoría de la transformada de Mellin y, en particular, el uso de la heurística maestra de Ramanujan (teorema, fórmula) como se ilustra en el MO-Q " Fórmula magistral de Ramanujan: Una demostración y relación con el cálculo umbral " y sus Enlaces relacionados.

La transformada de Mellin también es fundamental para explorar las propiedades de las funciones que satisfacen $f(x) = \frac{1}{x} f(\frac{1}{x})$ como se ilustra en el MSE-Q " ¿Tiene la ecuación funcional f(1/r)=rf(r) alguna solución no trivial además de f(r)=1/√r? ".

Hay un libro escrito por algún subconjunto de los autores Hardy, Littlewood y Titchmarsh que aborda estas relaciones, creo. (Últimamente me he propuesto volver a encontrarlo después de haberlo encontrado hace años. Si mi portátil se mantiene estable hoy, intentaré encontrarlo de nuevo).