Distancia de un punto a un plano (en la forma paramétrica, no en la forma general)

Question

Tengo un punto $Q = [7 2 1]$ y necesito encontrar la distancia al plano $P = [1 2 0] + s[1 -1 1] + t[1 0 3]$ . No estoy seguro de cómo enfocar esta pregunta.Sé que hacer esta pregunta si la ecuación del plano se dio en la forma $Ax + By + Cz = D$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo de esta forma He pensado en dos métodos pero no estoy seguro de cual es el correcto. Este es el primer método y este es el segundo método

Podría alguien indicarme si alguno de los dos métodos es correcto y en caso contrario el método correcto. Gracias

Answer 1

En $Ax+By+Cz+D$ enfoque es correcto, aquí hay otro:
Sea $Q=(7,2,0)^T$ , $P=a+sv_1+tv_2$ donde $a=(1,2,0)^T$ , $v_1=(1,−1,1)^T$ , $v_2=(1,0,3)^T$ entonces encontramos la distancia mínima $|PQ|=\sqrt{(Q-P)^2}$ sobre todos los valores posibles de $s,\,t$ como el distancia.
Vamos a reorganizar las cosas un poco primero, encontrar $v_2'=v_2+uv_1$ tal que $v_2'.v_1=0$ : $(v_2+uv_1).v_1=0\Leftrightarrow$ $v_2.v_1+uv_1.v_1=0\Rightarrow$ $u=-\frac{v_2.v_1}{v_1.v_1}\Leftrightarrow$ $v_2'=v_2-\frac{v_2.v_1}{v_1.v_1}v_1$ .
Digamos ahora $sv_1+tv_2=sv_1+t(v_2'-uv_1)=(s-tu)v_1+tv_2'=s'v_1+tv_2'$ entonces $(P-Q)^2=$ $(a-Q+s'v_1+tv_2')^2=$ $(a-Q)^2+s'\cdot(2(a-Q).v_1)+t(2(a-Q).v_2')+{s'}^2v_1^2+t^2{v_2'}^2$ es obvio que $(P-Q)^2$ tienen el valor mínimo cuando $s'=-\frac{(a-Q).v_1}{v_1^2}$ , $t=-\frac{(a-Q).v_2'}{{v_2'}^2}$ de ahí el resultado deseado.

Otro posible enfoque es encontrar $s,\,t$ que $(P-Q).v_i=0$ para $i=1,2$ : $$\begin{cases} (a-Q+sv_1+tv_2)v_1=0\\ (a-Q+sv_1+tv_2)v_2=0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} (a-Q).v_1+sv_1^2+tv_2.v_1=0\\ (a-Q).v_2+sv_1.v_2+tv_2^2=0 \end{cases}$$ es lineal respecto a $s,\,t$ por lo que encontrar $s,\,t$ encontramos $|PQ|$ como la distancia deseada.

Sin embargo, estos dos enfoques son útiles cuando uno no puede tomar $v_1\times v_2$ producto cruzado, por ejemplo, trabajar en $4$ o más dimensiones.

Answer 2

Un punto del plano es $(1,2,0)$ y un vector normal al plano es

\begin{align*}(1,-1,1) \times (1,0,3) & = (-3,-2,1). \end{align*}

Entonces la ecuación del plano es $$-3(x-1) -2(y-2) +z = 0$$ que se simplifica en $$3x +2y - z = 7.$$ Puedes cogerlo desde aquí. Edición: ambos métodos son equivalentes, pero cometiste un error en el segundo intento.