Me piden que muestre $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$ si $|f'(x)|\le M$ $x \in I$ y $f$ es continua en $I$ . Dudo de este derecho ya que no estoy muy seguro de lo que está pidiendo.
El teorema del valor medio da $$ f(x)-f(y)=f'(c)(x-y) \implies |f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)| = |f'(c)||x-y| $$ Desde $c\in I \implies |f'(c)|\le M$ $$ |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y| \le M|x-y| $$
Lo cual no parece muy difícil, así que creo que he entendido mal la pregunta. Se agradece cualquier aportación.
