¿Es más inteligente defender con un ejército, o con dos en el juego de riesgo?

Question

Recientemente he jugado Riesgo con las siguientes reglas:

• Un jugador puede atacar a otro jugador con en la mayoría de los 3 ejércitos.
• El defensor puede defender con en la mayoría de los 2 ejércitos. Esto es independiente del número de atacar a los ejércitos.
• Cada jugador (atacante y defensor), llega a lanzar un dado para cada ejército que ellos tienen. Así pues, el atacante lanza en la mayoría de los 3 dados y el defensor lanza en la mayoría de los dos dados.
• Cuando un ataque es lanzado y los dados son lanzados, la cuestión es que los ejércitos se venció. Para ello, el resultado de los dados del atacante $a_1, a_2, a_3$ y el defensor de dados $d_1, d_2$ están ordenados descendentemente. De la comparación de a pares ($a_1$ vs $d_1$; $a_2$ vs $d_2$; $a_3$ se omite). El atacante gana si $a_i > d_i$, de lo contrario, el defensor gana. Habrá una pérdida de exactamente $k$ ejércitos, donde $k = \max(\text{number of attacking armies}, \text{number of defending armies})$. Por lo $k \in \{1, 2\}$. Cualquier combinación es posible (el atacante pierde 2 ejércitos, el defensor pierde 2 ejércitos, ambos pierden 1 ejército para el caso de la $k=2$).

Para el atacante, creo que siempre tiene sentido atacar con 3 ejércitos, si puede. Sin embargo, supongamos que el atacante ha $n$ ejércitos y va a seguir atacando hasta que el defensor ha perdido o no tiene ejércitos para atacar con más. La pregunta interesante es:

Si el defensor siempre a dos ejércitos?

Answer 1

Bueno, supongo: (1) el defensor elige # de dados antes de ver lo que el atacante rollos,
(2) el atacante y el defensor cada uno tiene "un montón" de los ejércitos, y
(3) el atacante siempre ataca con 3 ejércitos.

A continuación, el defensor puede defender con dos o defender con uno. Si el último, tomamos los ataques en pares. Los datos son de mi enlace en los comentarios.

La defensa con dos dados, los resultados son +2 (atacante pierde 2) con una probabilidad de $.29$, 0 (cada uno pierde un ejército) con una probabilidad de $.34$, y -2 (defensor pierde 2) con una probabilidad de $.37$.

La defensa con un dado dos veces, los resultados son +2 con una probabilidad de $.34^2=.12$, 0 con probabilidad de $.34\cdot .66+.66\cdot .34=.45$, y -2 con una probabilidad de $.66^2=.44$.

Por lo tanto, es generalmente mejor para defender con dos dados. Circunstancias en que es mejor para defender con uno son difíciles de construir. Un ejemplo es si usted está tratando de retrasar el juego, haciendo un montón de morir rollos. Otra es que si usted está tratando de perder a propósito (por ejemplo, a un aliado).

Algunos de los más mathy cosas en el Riesgo puede ser encontrado aquí.

Answer 2

De acuerdo a Lanchester las leyes de (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Lanchester%27s_laws), si las fuerzas de lucha con armas de fuego se relacionan directamente con el objetivo de disparar desde una distancia, la eficacia de una fuerza es proporcional a el cuadrado de su tamaño.

Por lo tanto sería mejor tienen los ejércitos tan grandes como sea posible, por lo que el número de ejércitos ser tan pequeño como sea posible para un número fijo de los combatientes.