Condensado vs picnótico vs consecuente

Question

Como probablemente quede claro por mis preguntas anteriores, me acerco a las "matemáticas condensadas" desde la perspectiva ingenua de un teórico de categorías, sin mucho conocimiento de las aplicaciones previstas en geometría algebraica y análisis funcional. Espero, por tanto, que esta pregunta no sea demasiado ingenuo, pero aún no he encontrado un lugar donde se aborde claramente para un público "lego".

Según tengo entendido, hay cuatro categorías que consiguen algo similar:

• La categoría de $\kappa$ -conjuntos condensados, para algún cardinal $\kappa$ que son tramas en el sitio de los espacios compactos de Hausdorff de cardinalidad $<\kappa$ .
• La categoría de conjuntos picnóticos, que son los $\kappa$ -conjuntos condensados cuando $\kappa$ es un inaccesible.
• En la dirección opuesta (haciendo el sitio más pequeño), el topos topológico de Johnstone, que es la categoría de las laminillas en la subcategoría completa de espacios que contienen el punto y la compactificación de un punto de $\mathbb{N}$ .
• La categoría de conjuntos condensados, que es el colímite de las categorías de $\kappa$ -conjuntos condensados sobre todos $\kappa$ o, lo que es lo mismo, la categoría de "pequeñas láminas" en el gran sitio de todos los espacios compactos de Hausdorff.

Quiero entender las diferencias entre estas categorías, y por qué y en qué situaciones se puede elegir una sobre las otras. En concreto:

1. El topos topológico de Johnstone parece estrechamente relacionado con la categoría de $\aleph_1$ -conjuntos condensados. (Las referencias que he visto restringen $\kappa$ ser un cardinal de límite fuerte, pero al menos la definición parece tener sentido para cualquier cardinal). Parece demasiado esperar que sean equivalentes, pero ¿están relacionados al menos por una adjunción? ¿Cómo de "próximos" están?

2. A este respecto, ¿por qué $\kappa$ normalmente restringido a ser un cardenal de límite fuerte?

3. Para un teórico puro de las categorías, las tres primeras tienen la ventaja evidente sobre la cuarta de que son topos. De hecho, son incluso local topos: su functor de olvido a conjuntos tiene un adjunto derecho así como un adjunto izquierdo. ¿Por qué se podría, no obstante, elegir trabajar con la no-topótesis no local de conjuntos condensados en lugar de una de estas tres topos?

4. En relación con esto, ¿para qué aplicaciones es no suficiente para trabajar con $\kappa$ -conjuntos condensados para un pequeño fijo $\kappa$ como el límite fuerte incontable más pequeño $\beth_\omega$ ? ¿O, para el caso, el topos topológico de Johnstone? En particular, ¿son deseables abstracto propiedades de las que carecen estas categorías? ¿O hay construcciones que darían un resultado "erróneo" cuando se realizan en estas categorías (y si es así, en qué sentido)? ¿O es que hay ejemplos importantes de espacios generados de forma compacta que no son " $\kappa$ -compactamente generados" para pequeños $\kappa$ y, por tanto, no encajan plenamente en estas categorías?

Answer 1

Algunos comentarios:

Respecto a 1): Son bastante diferentes. Johnstone utiliza en realidad una noción muy general de "cubierta" en su topos secuencial -- su sitio es una subcategoría completa de conjuntos profinitos metrizables (= $\aleph_1$ -conjuntos pequeños profinitos=límites contables de conjuntos finitos=Pro-categoría secuencial de conjuntos finitos), pero no todas sus coberturas son coberturas en el sentido condensado/picnótico. No estoy seguro de que las cubiertas más generales que permite tengan mucha relevancia para sus resultados positivos, pero impiden que su topos tenga suficientes puntos. (Todas las demás opciones tienen suficientes puntos.) También significa que el objeto generador $\mathbb N\cup\{\infty\}$ no es en realidad un objeto cuasicompacto en su topos.

Así que una mejor comparación sería entre la versión del topos de Johnstone que se restringe a las coberturas finitas. Esto admite un morfismo geométrico de $\aleph_1$ -conjuntos condensados. Ahora $\aleph_1$ -los conjuntos condensados admiten en realidad una descripción muy similar a esta versión del topos de Johnstone, pero sustituyendo $\mathbb N \cup \{\infty\}$ con el conjunto de Cantor, que es el conjunto universal profinito metrizable (es decir, que se proyecta sobre cualquier otro). Pero el conjunto de Cantor es mucho mayor que $\mathbb N\cup\{\infty\}$ ¡! Esto tiene algunas consecuencias importantes, por ejemplo $[0,1]$ es cuasicompacta en $\aleph_1$ -conjuntos condensados, pero no lo es tanto en el topos de Johnstone. Tal cuasicompacticidad se utiliza por todas partes en nuestros argumentos. Por ejemplo, una propiedad extremadamente importante es la siguiente:

Puede considerar los complejos CW como ( $\aleph_1$ -)conjuntos condensados. Ahora bien, cualquier topos tiene su noción inherente de cohomología, por lo que se puede tomar la cohomología resultante de los complejos CW. Entonces, en el mundo condensado:

Aplicada a complejos CW, la noción interna de cohomología coincide con la cohomología singular.

Creo que esto fallaría en el topos de Johnstone (¡corrígeme si me equivoco!). Y espero que estés de acuerdo en que se trata de una propiedad muy deseable. Es el punto de partida para ver que la noción interna de cohomología de grupo de todo tipo de grupos topológicos/condensados concuerda con las diversas nociones (¡ad hoc!) de cohomología de grupo continua que se pueden encontrar en la literatura.

Por otra parte, casi todo lo que hacemos en conjuntos condensados también podría hacerse ya con $\aleph_1$ -De hecho, me estoy planteando cambiar a esa configuración para algunas cosas. Una cuestión desagradable es que, aunque los grupos abelianos condensados tienen suficientes proyectivos, no hay ninguno no trivial que sea internamente proyectivo. Pero en $\aleph_1$ -grupos abelianos condensados, $\mathbb Z[\mathbb N\cup\{\infty\}]$ es ¡internamente proyectivo!

Respecto a 2): Como usted observa, la teoría funciona básicamente para cualquier $\kappa$ . Una cosa que puede gustar es que a medida que aumentas $\kappa$ los funtores de retroceso son totalmente fieles. Aunque no sé si eso es siempre cierto, lo es al menos cuando los cardinales son regulares o límites fuertes. Y la razón para elegir límites fuertes es que, en ese caso, uno tiene suficientes objetos proyectivos compactos (los conjuntos profinitos extremadamente desconectados), que son muy útiles (aunque no sean necesarios en última instancia) para construir la teoría.

Respecto a 3): La razón principal es el deseo de evitar elecciones artificiales. Permítanme que me explaye pasando a la siguiente pregunta:

Respecto a 4): Una cosa que probamos al principio es una dualidad general de Pontrjagin en grupos abelianos localmente compactos (incluso en el nivel derivado). Pero esto requiere que haya tantos grupos abelianos discretos como grupos abelianos compactos. Si se trabaja con $\kappa$ -grupos abelianos condensados, la dualidad de Pontrjagin obligaría a restringir no sólo a $\kappa$ -pequeños grupos abelianos compactos, sino también a $\kappa$ -pequeños grupos abelianos discretos.

Además, si realmente quieres decir que los espacios topológicos generados de forma compacta se incrustan en conjuntos condensados, sin hablar implícitamente de $\kappa$ -compactamente generados, de nuevo tienes que ir este colimit sobre todos los $\kappa$ .

Pero en la práctica, casi todo es $\aleph_1$ -generado de forma compacta, y sólo tienes que trabajar con $\aleph_1$ -conjuntos condensados (o la categoría mucho más amplia de $\beth_\omega$ -conjuntos condensados, cuando se tienen suficientes proyectivos compactos).

Pero como dije antes, no se puede trabajar con el topos de Johnstone, el espacio $\mathbb N\cup\{\infty\}$ es demasiado pequeño.