Suma y adición de vectores tensoriales

Question

Supongamos que existe un espacio vectorial $V$ con base $\{e_1,e_2\}$ . Denotemos $V$ tensor $V$ como $V\otimes V$ con base $\{(e_1\otimes e_1),(e_1\otimes e_2),(e_2\otimes e_1),(e_2\otimes e_2)\}$ . Entonces los vectores $(e_2\otimes e_1)-(e_1\otimes e_2),(e_1\otimes e_2)-(e_2\otimes e_1) \in V\otimes V$ son linealmente dependientes?

Answer 1

Desde $\{e_1\otimes e_1, e_1 \otimes e_2, e_2 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2\}$ es una base de $V \otimes V$ entonces cada $v \in V$ puede escribirse como $$v = k_1(e_1\otimes e_1), + k_2(e_1 \otimes e_2) + k_3 (e_2 \otimes e_1) + k_4 (e_2 \otimes e_2).$$

Esto significa, en particular, que puede tener algo como $2(e_2 \otimes e_1) - 2(e_1 \otimes e_2)$ . En realidad, la mayoría de los vectores de $V \otimes V$ no son tensores homogéneos (es decir, tensores de la forma $v \otimes w$ ).

Para responder a tu pregunta original, como señaló @MichaelMorrow, $e_2 \otimes e_1 - e_1 \otimes e_2 = -(e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1)$ Así pues $\{e_2 \otimes e_1 - e_1 \otimes e_2, e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1\}$ es un conjunto linealmente dependiente.