Ejemplo de submanifold riemanniano completo pero no cerrado

Question

Estoy trabajando en un ejercicio en el que se me pide que construya un ejemplo de métrica riemanniana completa $(M,g)$ y una submanifold Riemanniana embebida y conectada $P \subseteq M$ que está completo, pero no cerrado. Y no estoy seguro de que exista tal ejemplo.

Supongamos que $x \in M \setminus P$ es un punto límite de $P$ . Entonces existe una secuencia $\left\{x_n\right\}_{n \geq 1} \subset P$ que converge a $x$ en la métrica $d_g$ inducida por la métrica de Riemann sobre $M$ . En particular, $\left\{x_n\right\}$ es una sucesión de Cauchy en $M$ . Así que para que esto sea cierto, necesitaríamos $\left\{x_n\right\}$ no sea una secuencia de Cauchy en $P$ de lo contrario, por integridad de $P$ , $x_n\to x \in P$ en la topología inducida en $P$ contradiciendo nuestra hipótesis.

Lo que necesito: Quiero un ejemplo de una colector Riemanniano completo $(M,g)$ que admite un submanifold conexo, completo e incrustado $P \subset M$ donde las secuencias de Cauchy en $M$ no son necesariamente Cauchy en $P$ . Pero no estoy seguro de cómo construir tal cosa. ¿Algún consejo?

Answer 1

Tu objetivo es tener puntos que estén arbitrariamente cerca en $M$ pero muy distantes en $P$ . En otras palabras, quieres tener puntos que se acerquen en $M$ pero tal que para llegar entre ellos en $P$ tienes que recorrer una gran distancia. Intuitivamente, esto es fácil: por ejemplo, puedes dibujar una curva que vuelva a visitar un lugar infinitas veces (acercándose cada vez más) mientras se aleja una distancia fija cada vez.

A continuación se oculta un ejemplo concreto de una curva de este tipo.

Sea $M=\mathbb{R}^2$ con su métrica habitual, y sea $P=\{(x,\sin(1/x)):x>0\}$ . En $x$ se acerca a $0$ , $\sin(1/x)$ oscila entre $-1$ y $1$ infinitamente a menudo, por lo que la curva se acumula en $(0,y)$ para todos $y\in[-1,1]$ y $P$ no está cerrado. Pero $P$ es completa en su métrica inducida, ya que la longitud de arco necesaria para acercarse a $x=0$ es infinito.