OBJETIVO: cómo rotar de Wick una integral de trayectoria utilizando el teorema de Cauchy . Me gusta el planteamiento de utilizar el teorema de Cauchy y debo admitir que nunca antes había visto el problema del tiempo finito enfocado desde este punto de vista, así que me pareció algo divertido en lo que pensar (¡en esta lluviosa tarde de domingo!).
Cuando empecé a pensar en esto era más optimista que ahora (ya es miércoles). Empiezo exponiendo mis conclusiones (a continuación se detallarán todas las reclamaciones):
1. Hay una obstrucción local que impone la cantidad que usted llama $$ e^{-i\int_C dz\,\mathcal{L}(z)}, $$ para contribuir de forma no trivial. Este es el primer indicio de que todo el planteamiento está creando más problemas de los que resuelve. (Hay una forma más fácil de hacer la continuación analítica).
2. Su elección de contorno no le facilita la vida. Si en lugar del primer cuadrante continuaras en el cuarto cuadrante del complejo $z$ se obtendría el signo menos correcto en el factor de supresión (pero no el integrando esperado). ![correct contour]()
3. La suposición de holomorficidad está justificada, ya que existe una expansión de base completa para $\tilde{x}(t)$ (y su extensión analíticamente continuada, $\tilde{x}(z)$ ) tal que la cantidad: $$ \oint_{L_R}dz\,\mathcal{L}(z)+\oint_{L_I}dz\,\mathcal{L}(z)+\oint_{C}dz\,\mathcal{L}(z), $$ desaparece, de modo que el contorno cerrado puede contraerse a un punto.
4. Las condiciones de contorno son importantes: son los términos de fluctuaciones cuánticas que implican $\tilde{x}(t)$ que necesitan continuar, no la pieza de modo cero (clásica), $x_{\rm cl}(t)$ donde $$ x(t)=x_{\rm cl}(t)+\tilde{x}(t), $$ sujeto a $x_{\rm cl}(0)=x_i$ , $x_{\rm cl}(T)=x_f$ , $\tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0$ . Las dos últimas condiciones te facilitan un poco la vida.
5. Es mucho más eficaz y natural continuar analíticamente $\tilde{x}(t)$ en problemas como éste, en los que intervienen intervalos de tiempo finitos. Esto también es cierto en QFT.
6. Al ampliar $\tilde{x}(t)$ como una serie de Fourier sujeta a las condiciones de contorno anteriores (me olvido de las interacciones porque son irrelevantes para las rotaciones de Wick, al menos dentro de la teoría de perturbaciones), $$ \tilde{x}(t) = \sum_{n\neq0}a_n\psi_n(t),\qquad {\rm with}\qquad \psi_n(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sin\frac{n\pi t}{T}, $$ queda claro que la (única) expresión analíticamente continua, obtenida a partir de la anterior sustituyendo $t\rightarrow z$ no tiene una base bien educada: $\{\psi_n(z)\}$ ya no es completa, ni ortonormal y de hecho diverge para tamaños suficientemente grandes $\beta$ donde $z=t+i\beta$ . Pero es holomorfa dentro de su radio de convergencia, y entonces cabría esperar que el teorema de Cauchy viniera al rescate porque para cualquier contorno cerrado: $$ \oint dz\,\psi_n(z)\psi_m(z)=0, $$ y dado que $\int_0^Tdt\,\psi_n(t)\psi_m(t)=\delta_{n,m}$ se puede decir algo significativo sobre las integrales en las restantes regiones del plano complejo.
Y un comentario (que va dirigido principalmente a algunos de los comentarios que has recibido @giulio bullsaver y @flippiefanus): la integral de trayectoria es lo suficientemente general como para poder capturar tanto límites finitos como infinitos en tu acción de interés, tanto en QM como en QFT. Una complicación es que a veces no es posible definir estados asintóticos cuando los límites son finitos (la noción habitual de partícula sólo tiene sentido en ausencia de interacciones, y en el infinito la separación entre partículas puede tomarse normalmente como suficientemente grande para que las interacciones se desactiven), y aunque esto no es un problema de principio hay que trabajar más para progresar. En mecánica cuántica, donde no hay creación de partículas, las cosas son más sencillas y se puede considerar un espacio de estados de una sola partícula.
Como ya he dicho, esto es sólo una muestra: cuando tenga tiempo, añadiré más contenido a mis afirmaciones.
DETALLES:
Consideremos la siguiente integral de trayectoria para una partícula libre no relativista: $$ \boxed{Z= \int \mathcal{D}x\,e^{\frac{i}{\hbar}\,I[x]},\qquad I[x]=\int_0^Tdt\,\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2} $$ (Fijamos la masa $m=2$ todo para evitar el desorden innecesario, pero quiero mantener $\hbar$ explícito. Podemos restaurar $m$ en cualquier punto sustituyendo $\hbar\rightarrow \hbar 2/m$ .) Es evidente que esta integral de camino es completamente trivial. Sin embargo, la cuestión que pretendemos abordar (es decir, entender la rotación de Wick en relación con el teorema de Cauchy) es (dentro de la teoría de perturbaciones) independiente de las interacciones. Basta con reducir el problema a su "esencia". He aquí mi justificación: no realizará ninguna manipulación que no podamos realizar también en presencia de interacciones dentro de la teoría de perturbaciones . Así que esto justifica completamente considerar la teoría libre.
Por razones pedagógicas, primero describiré cómo evaluar esas integrales de trayectoria sin ambigüedades, incluyendo una discusión detallada de cómo utilizar el teorema de Cauchy para dar sentido a la exponencial oscilante, y sólo después de que hayamos llegado a un resultado discutiremos los problemas asociados a seguir el enfoque sugerido en la pregunta.
Cómo rotar las integrales de trayectoria sin ambigüedades:
Para calcular cualquier integral de trayectoria lo primero que hay que hacer es especificar las condiciones límite . Así que supongamos que nuestra partícula está en $x_i=x(0)$ en $t=0$ y en $x_f=x(T)$ en $t=T$ . Para ponerlas en práctica, factoricemos una pieza clásica y las fluctuaciones cuánticas: $$ x(t) = x_{\rm cl}(t)+\tilde{x}(t), $$ y satisfacen las condiciones de contorno exigiendo que las fluctuaciones cuánticas se desactiven en $t=0$ y $t=T$ : $$ \tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0, $$ por lo que la pieza clásica debe entonces heredar las condiciones de contorno de $x(t)$ : $$ x_{\rm cl}(0)=x_i,\qquad x_{\rm cl}(T)=x_f. $$
Además de ocuparse de las condiciones de contorno, la descomposición en una pieza clásica y fluctuaciones cuánticas desempeña el siguiente papel muy importante: integrando fuera $x(t)$ requiere que puedas invertir el operador $-d^2/dt^2$ . Esto sólo es posible cuando aquello sobre lo que actúa no es aniquilado por él, es decir, cuando los valores propios de este operador son no evanescentes. Llamamos al conjunto de cosas que son aniquiladas por $-d^2/dt^2$ el núcleo de $-d^2/dt^2$ así que la pieza clásica $x_{\rm cl}(t)$ es precisamente el núcleo de $-d^2/dt^2$ : \begin{equation} -\frac{d^2}{dt^2}x_{\rm cl}(t)=0. \end{equation} Esta es, por supuesto, precisamente la ecuación clásica del movimiento de una partícula libre no relativista con solución única (sujeta a las condiciones de contorno anteriores): $$ x_{\rm cl}(t) = \frac{x_f-x_i}{T}t+x_i. $$
Así que ahora implementamos lo anterior en la integral de la trayectoria, partiendo de la acción. La descomposición $x(t) = x_{\rm cl}(t)+\tilde{x}(t)$ conduce a: \begin{equation} \begin{aligned} I[x]&=\int_0^Tdt\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2\\ &=\int_0^Tdt\Big(\frac{dx_{\rm cl}}{dt}\Big)^2+\int_0^Tdt\Big(\frac{d\tilde{x}}{dt}\Big)^2+2\int_0^Tdt\frac{dx_{\rm cl}}{dt}\frac{d\tilde{x}}{dt}\\ \end{aligned} \end{equation} En el primer término sustituimos la solución de las ecuaciones de movimiento dadas anteriormente. En el segundo término integramos por partes teniendo en cuenta las condiciones de contorno en $\tilde{x}(t)$ . En el tercer término integramos por partes teniendo en cuenta las condiciones de contorno en $\tilde{x}(t)$ y utilizar el hecho de que $d^2x_{\rm cl}/dt^2=0$ para todos $t$ . En definitiva, \begin{equation} I[x]=\frac{(x_f-x_i)^2}{T}+\int_0^Tdt\,\tilde{x}(t)\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}(t),\quad{\rm with}\quad \tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0, \end{equation} y ahora sustituimos esto de nuevo en la integral de la trayectoria, $Z$ para considerar en detalle la rotación de Wick: \begin{equation} \boxed{Z= e^{i(x_f-x_i)^2/\hbar T}\int \mathcal{D}\tilde{x}\,\exp\, \frac{i}{\hbar}\int_0^T\!\!\!dt\,\tilde{x}(t)\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}(t), \quad{\rm with}\quad \tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0} \end{equation} Claramente, dado que hemos fijado los valores límite de $x(t)$ También tenemos eso: $\mathcal{D}x=\mathcal{D}\tilde{x}$ . Es decir, sólo estamos integrando sobre cantidades que no están fijadas por las condiciones de contorno en $x(t)$ . Así que el primer punto a tener en cuenta es que sólo la pieza de las fluctuaciones cuánticas podría necesitar la rotación de Wick.
Comentario aislado: Volviendo a un punto que señalé al principio de la sección DETALLES: si nuestro objetivo fuera simplemente resolver la teoría de la partícula libre, ¡estaríamos (casi) hechos! Ni siquiera tendríamos que hacer la rotación de Wick. Simplemente introduciríamos una nueva variable temporal, $t\rightarrow t'=t/T$ y, a continuación, redefinir el campo de la integral de trayectoria en cada punto $t$ , $\tilde{x}\rightarrow \tilde{x}'=\tilde{x}/\sqrt{T}$ . La medida se transformaría entonces (utilizando la regularización de la función zeta) como $\mathcal{D}\tilde{x}\rightarrow =\mathcal{D}\tilde{x}'=\sqrt{T}\mathcal{D}\tilde{x}$ por lo que el resultado sería: $$ Z=\frac{N}{\sqrt{T}}e^{i(x_f-x_i)^2/\hbar T}, $$ la cantidad $N$ siendo una normalización (véase más adelante). Pero como prometí, no realizaremos ninguna manipulación que no pueda realizarse también en teorías de interacción completa (y dentro de la teoría de perturbaciones). Así que tomamos el camino largo. Sin embargo, vale la pena mencionar el atajo: sirve como una importante comprobación de consistencia para lo que sigue.
Rotación de la mecha: Consideremos los términos de las fluctuaciones cuánticas en la acción, $$ \int_0^T\!\!\!dt\,\tilde{x}(t)\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}(t), \quad{\rm with}\quad \tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0, $$ y buscar una base completa (e idealmente ortonormal), $\{\psi_n(t)\}$ en el que expandirse $\tilde{x}(t)$ . Podemos pensar en dicha expansión como una expansión en serie de Fourier de $\tilde{x}(t)$ (donde es obvio que la base será completa), o podemos definir equivalentemente la base como el conjunto completo de vectores propios de $-d^2/dt^2$ . La base debe cumplir tres requisitos (y un cuarto opcional):
(a) no debe vivir en el núcleo de $-d^2/dt^2$ (el núcleo ya ha sido extraído y llamado $x_{\rm cl}(t)$ ).
(b) debe ser real (porque $\tilde{x}(t)$ es real);
(c) debe satisfacer las condiciones de contorno correctas heredadas por $\tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0$ ;
(d) es conveniente que sea ortonormal con respecto a algún producto interior natural, $(\psi_n,\psi_m)=\delta_{n,m}$ pero no es necesario.
La única solución (hasta un factor constante) que satisface estos requisitos es: $$ \tilde{x}(t)=\sum_{n\neq0}a_n\psi_n(t),\qquad {\rm with}\qquad \psi_n(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sin \frac{n\pi t}{T}, $$ donde la normalización de $\psi_n(t)$ está fijado por nuestro elección del producto interior: $$ (\psi_n,\psi_m)\equiv \int_0^Tdt\,\psi_n(t)\,\psi_m(t)=\delta_{n,m}. $$ (En el presente contexto se trata de un producto interior natural, pero de forma más general y sin referirse a una base concreta, $(\delta \tilde{x},\delta \tilde{x})$ es tal que preserva la mayor parte posible de las simetrías clásicas. Por cierto, al no poder encontrar un producto interior natural que preserve todos de las simetrías clásicas es la fuente de anomalías potenciales). Esta base $\{\psi_n(t)\}$ es real, ortonormal, satisface las condiciones de contorno correctas en $t=0,T$ y corresponde a un conjunto completo de vectores propios de $-d^2/dt^2$ : $$ -\frac{d^2}{dt^2}\psi_n(t)=\lambda_n\psi_n(t),\qquad {\rm with}\qquad \lambda_n=\Big(\frac{n\pi}{T}\Big)^2. $$ A partir de la expresión explícita para $\lambda_n$ debe quedar claro por qué $n=0$ se ha omitido de la suma sobre $n$ en $\tilde{x}(t)$ .
Para completar la historia necesitamos definir el medida integral de trayectoria . Mencionaré dos opciones equivalentes, empezando por la pedagógica: $$ \mathcal{D}\tilde{x}=\prod_{n\neq0}\frac{d a_n}{K}, $$ para alguna elección de $K$ que se fija posteriormente por cualquiera de los, por ejemplo, dos métodos mencionados a continuación (encontraremos $K=\sqrt{4T}$ ). (La segunda elección equivalente de medida es menos transparente, pero por ser más eficiente también se mencionará a continuación).
Para evaluar la integral de trayectoria ahora reescribimos los términos de las fluctuaciones cuánticas en $Z$ en términos de la expansión de base de $\tilde{x}(t)$ y hacer uso de las relaciones anteriores: \begin{equation} \begin{aligned} \int \mathcal{D}\tilde{x}\,&\exp\, \frac{i}{\hbar}\int_0^T\!\!\!dt\,\tilde{x}(t)\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}(t)\\ &=\int \prod_{n\neq0}\frac{d a_n}{K}\,\exp\, i\sum_{n\neq0}\frac{1}{\hbar}\Big(\frac{n\pi}{T}\Big)^2a_n^2\\ &=\prod_{n\neq0}\Big( \frac{T\sqrt{\hbar}}{K\pi |n|}\Big)\prod_{n\neq0}\Big(\int_{-\infty}^{\infty} d a\,e^{ia^2}\Big), \end{aligned} \end{equation} donde en la última igualdad redefinimos las variables de integración, $a_n\rightarrow a=\frac{|n|\pi}{\sqrt{\hbar}T}a_n$ .
La evaluación de los productos infinitos es algo tangencial al punto principal de pensar en la rotación de Wick, así que lo dejo como un
Ejercicio: Utiliza la regularización de la función zeta para demostrar que: $$ \prod_{n\neq0}c=\frac{1}{c},\qquad \prod_{n\neq0}|n| = 2\pi, $$ para cualquier $n$ -cantidad independiente, $c$ . (Sugerencia: recuerde que $\zeta(s)=\sum_{n>0}1/n^s$ que tiene las propiedades $\zeta(0)=-1/2$ y $\zeta'(0)=-\frac{1}{2}\ln2\pi$ .)
Sólo queda evaluar: $$ \int_{-\infty}^{\infty} d a\,e^{ia^2}, $$ que también es un ejercicio estándar en análisis complejo, pero creo que tiene algún valor que yo repase el razonamiento, ya que es fundamental para la noción de rotación de Wick: el integrando es analítico en $a$ para cualquier contorno cerrado, $C$ , el teorema de Cauchy asegura que, $$ \oint_Cda\,e^{ia^2}=0. $$ Elijamos en concreto el contorno que se muestra en la figura: ![Contour for Gaussian integral]()
Considerando cada contribución por separado y tomando el límite $R\rightarrow \infty$ conduce a: $$ \int_{-\infty}^{\infty} d a\,e^{ia^2}=\sqrt{i}\int_{-\infty}^{\infty}da\,e^{-a^2}=\sqrt{\pi i} $$ (Para reflexionar: ¿cuál es el resultado para una elección más general del ángulo? $\theta\in (0,\frac{\pi}{2}]$ ? que en la ecuación y figura mostradas es $\theta=\pi/4$ .) Una conclusión importante es que las integrales gaussianas con exponenciales oscilantes son perfectamente definido . Está claro que no había necesidad de que Wick rotara al tiempo imaginario en ningún momento del cálculo. Todo el análisis anterior consistía en llevar la integral de trayectoria original a una forma que contenga un producto de integrales ordinarias bien definidas. Utilizando este resultado para la $a$ integral, regularización de la función zeta para los productos infinitos (véase más arriba), y reordenando se llega a: \begin{equation} \begin{aligned} \int \mathcal{D}\tilde{x}\,&\exp\, \frac{i}{\hbar}\int_0^T\!\!\!dt\,\tilde{x}(t)\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{K\pi}{T\sqrt{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{\pi i}}. \end{aligned} \end{equation} Sustituyendo este resultado en la expresión del recuadro anterior para la integral de trayectoria completa obtenemos que: $$ Z[x_f,T;x_i,0]=\frac{e^{i(x_f-x_i)^2/\hbar T}}{\sqrt{\pi i\hbar T}}\,\frac{K}{\sqrt{4 T}}. $$
Normalización: Aunque algo tangenciales, algunos lectores podrían beneficiarse de algunos comentarios sobre la normalización: $K$ puede determinarse exigiendo una factorización coherente, $$ Z[x_f,T;x_i,0] \equiv \int_{-\infty}^{\infty}dy\,Z[x_f,T;y,t]Z[y,t;x_i,0], $$ (el resultado es independiente de $0\leq t\leq T$ ) o, si se cuestiona (justificadamente) la unicidad de la normalización del $\int dy$ integral se puede determinar $K$ exigiendo que la integral de trayectoria reproduzca la ecuación de Schrodinger: la función de onda (espacio de posición) en $t=T$ dada una función de onda en $t=0$ , $\psi(x_i,0)$ lo es por definición, $$ \psi(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty}dy\,Z[x,t;y,0]\psi(y,0), $$ y luego Taylor expandiendo en $t$ y $\eta$ al redefinir la variable de integración $y\rightarrow \eta=x-y$ conduce a la ecuación de Schrodinger, $$ i\hbar \partial_t\psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{4}\partial^2_x\psi(x,t), $$ proporcionó la normalización, $K=\sqrt{4T}$ (recordar $m=2$ ). (Un método más aburrido pero equivalente para determinar $K$ es exigir coherencia con el planteamiento del operador, donde $Z=\langle x_f,t|x_i,0\rangle$ ).
Así pues, la integral de trayectoria completa correctamente normalizada para una partícula libre no relativista (de masa $m=2$ ) es, por tanto, $$ \boxed{Z[x_f,T;x_i,0]=\frac{e^{i(x_f-x_i)^2/\hbar T}}{\sqrt{\pi i\hbar T}}} $$ (Recordemos que para reintroducir la masa podemos sustituir efectivamente $\hbar\rightarrow 2\hbar/m$ .)
Definición de medida alternativa: Anteriormente mencioné que existe una definición más eficiente pero equivalente para la medida de la integral de trayectoria, pero como esto no es central para este post sólo la enumeraré como una
Ejercicio 1: Demuestre que, para cualquier constante $c,K$ las siguientes definiciones de medida son equivalentes: $$ \mathcal{D}\tilde{x}=\prod_{n\neq0}\frac{d a_n}{K}, \qquad \Leftrightarrow\qquad \int \mathcal{D}\tilde{x}e^{\frac{i}{\hbar c}(\tilde{x},\tilde{x})}=\frac{K}{\sqrt{\pi i\hbar c}}, $$ donde el producto interior se definió anteriormente.
Ejercicio 2: De la definición de esta última medida se deduce inmediatamente que, $$ \int \mathcal{D}\tilde{x}e^{\frac{i}{\hbar }(\tilde{x},-\partial_t^2\tilde{x})}=\frac{K}{\sqrt{\pi i\hbar }}\,{\rm det}^{-\frac{1}{2}}\!(-\partial_t^2). $$ Demuestre utilizando la regularización de la función zeta que ${\rm det}^{-\frac{1}{2}}\!(-\partial_t^2)\equiv(\prod_{n\neq0}\lambda_n)^{-1/2}=\frac{1}{2T}$ confirmando así (tras incluir la contribución clásica, $e^{i(x_f-x_i)^2/\hbar T}$ ) concuerda exactamente con el resultado anterior para $Z$ cuando $K=\sqrt{4T}$ . (Tenga en cuenta que de nuevo no hemos tenido que Wick girar tiempo y la medida integral del camino está perfectamente bien definida si se está dispuesto a aceptar la regularización de la función zeta como interpretación de los productos infinitos).
¿Tiempo de rotación de WICK? tal vez no..
Después de haber discutido cómo evaluar integrales de trayectoria sin tiempo de rotación de Wick, ahora utilizamos los resultados anteriores con el fin de entender lo que podría ir mal cuando uno hace tiempo de rotación de Wick.
Así que ahora seguimos tu razonamiento (pero con un giro): Volvemos a la integral de trayectoria sobre fluctuaciones. Continuamos analíticamente $t\rightarrow z=t+i\beta$ y desea construir un contorno (llamaré al contorno cerrado completo $C$ ), tal que: $$ \oint_C dz\,\tilde{x}(z)\Big(-\frac{d^2}{dz^2}\Big)\tilde{x}(z)=0. $$ Nuestro trabajo anterior implica inmediatamente que cualquier elección de $C$ puede, en efecto, contraerse hasta un punto sin obstrucción. Esto se debe a que utilizando la base anterior tenemos una única expresión analíticamente continua para $\tilde{x}(z)$ dado $\tilde{x}(t)$ : $$ \tilde{x}(z)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{n\neq0}a_n\sin \frac{n\pi z}{T}. $$ Esto es claramente analítico en $z$ (al igual que sus derivadas) sin singularidades, excepto posiblemente fuera del radio de convergencia. El primer indicio de que esto puede ser una mala idea es observar que al continuar $t\rightarrow z$ acabamos con una base mala que deja de ser ortonormal y la suma sobre $n$ no tiene por qué converger para una parte imaginaria de $z$ . Pero intentemos persistir en este razonamiento, con la esperanza de que resuelva más problemas de los que crea (no es así).
Elija el siguiente contorno (observe que la elección del contorno es diferente a la suya): ![enter image description here]()
He elegido el cuarto cuadrante en lugar del primero, porque (como has mostrado en tu pregunta) el primer cuadrante conduce a la gaussiana de signo erróneo, mientras que el cuarto cuadrante lo soluciona.
Así que podemos aplicar el teorema de Cauchy al contorno $C=a+b+c$ . Mediante coordenadas $z=re^{i\theta}$ y $z=t+i\beta$ para el contorno $b$ y $c$ respectivamente, \begin{equation} \begin{aligned} \int_0^T& dt\,\tilde{x}\Big(-\frac{d^2}{dt^2}\Big)\tilde{x}\\ &=- \int_0^{-\pi/2}(iTe^{i\theta}d\theta)\,\tilde{x}(Te^{i\theta})\frac{1}{T^2e^{2i\theta}}\Big(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-i\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)\tilde{x}(Te^{i\theta})\\ &\qquad+i\int_{-T}^0d\beta\,\tilde{x}(i\beta)\Big(-\frac{d^2}{d\beta^2}\Big)\tilde{x}(i\beta) \end{aligned} \end{equation} donde por la regla de la cadena, a lo largo del $b$ contorno: $$ dz|_{r=T}=iTe^{i\theta}d\theta,\qquad {\rm and}\qquad -\frac{d^2}{dz^2}\Big|_{r=T} = \frac{1}{T^2e^{2i\theta}}\Big(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-i\frac{\partial}{\partial \theta}\Big), $$ se evalúan en $z=Te^{i\theta}$ .
En cuanto a la integral a lo largo del contorno $b$ (es decir, el $\theta$ integral) estaba la cuestión anterior de si esta cantidad contribuye realmente o no. Que hace contribuyen se deduce de un teorema elemental del análisis complejo: las ecuaciones de Cauchy-Riemann. A grandes rasgos, la afirmación es que si una función, $f(z)$ es holomorfa en $z$ entonces la derivada de esta función con respecto a $z$ en cualquier punto, $p$ es independiente del dirección de la derivada. Por ejemplo, si $z=x+iy$ entonces $\partial_zf(z) = \partial_xf(z)=-i\partial_yf(z)$ en cualquier punto $z=x+iy$ . Aplicando esto a nuestro caso, utilizando la notación anterior, $z=re^{i\theta}$ esto significa que las derivadas a lo largo de $\theta$ dirección evaluada en cualquier $\theta$ y en $r=T$ igual a las derivadas correspondientes a lo largo de la $r$ dirección al mismo $\theta$ y $r=T$ que a su vez es igual a $z$ derivados al mismo $z=Te^{i\theta}$ . Así que concluimos inmediatamente de esto que la integral a lo largo de la $b$ contorno es: \begin{equation} \begin{aligned} - \int_0^{-\pi/2}(iTe^{i\theta}d\theta)&\,\tilde{x}(Te^{i\theta})\frac{1}{T^2e^{2i\theta}}\Big(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-i\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)\tilde{x}(Te^{i\theta})\\ &=- \int_bdz\,\tilde{x}(z)\Big(-\frac{d^2}{dz^2}\Big)\tilde{x}(z)\Big|_{z=Te^{i\theta}}\\ &=- \sum_{n,m\neq0}\Big(\frac{n\pi}{T}\Big)^2a_na_m\int_bdz\,\psi_n(z)\psi_m(z)\Big|_{z=Te^{i\theta}}, \end{aligned} \end{equation} donde utilizamos la expansión en base analítica continua de $\tilde{x}(z)$ . Tenemos una expresión explícita para la integral a lo largo del $b$ contorno: \begin{equation} \begin{aligned} \int_bdz\,\psi_n(z)\psi_m(z)\Big|_{z=Te^{i\theta}}&=2i\int_0^{-\pi/2}d\theta \,e^{i\theta}\sin (n\pi e^{i\theta})\sin (m\pi e^{i\theta})\\ &=-\frac{2}{\pi}\frac{m\cosh m\pi \sinh n\pi-n\cosh n\pi \sinh m\pi}{(m-n)(m+n)} \end{aligned} \end{equation} donde tuvimos en cuenta que $m,n\in \mathbb{Z}$ . Conviene subrayar que este resultado se deduce directamente de la continuación analítica de $\tilde{x}(t)$ con las condiciones físicas de contorno $\tilde{x}(0)=\tilde{x}(T)=0$ . Obsérvese ahora que la base $\psi_n(z)$ ya no es ortogonal (el producto interior ya no es un simple delta de Kronecker como antes), y la presencia de senos y cosenos hiperbólicos implica que la suma sobre $n,m$ no está bien definido. Por supuesto, podemos diagonalizarla si queremos, pero es evidente que esta continuación analítica de $t$ no facilita la vida. Está claro que la integral a lo largo del $\theta$ contribuye de forma no trivial, y esto se deduce directa e inevitablemente de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que relacionan derivadas de funciones holomorfas en distintas direcciones. Dado $\partial_t^m\psi_n(t)$ no desaparecen genéricamente en $t=T$ El $\theta$ integral a lo largo de la $b$ no puede desaparecer idénticamente y contribuirá de forma no trivial, como hemos demostrado mediante cálculo directo. Obsérvese además que en la integral de trayectoria hay un factor de $i=\sqrt{-1}$ multiplicar la acción $I[x]$ por lo que a partir del resultado explícito anterior queda claro el exponente asociado a la $b$ contorno permanece oscilante .
Por último, consideremos la acción asociada al $c$ contorno. Desde arriba: \begin{equation} \begin{aligned} i\int_{-T}^0d\beta\,&\tilde{x}(i\beta)\Big(-\frac{d^2}{d\beta^2}\Big)\tilde{x}(i\beta). \end{aligned} \end{equation} En la integral de trayectoria esto contribuye como: $$ \exp -\frac{1}{\hbar}\int_{-T}^0d\beta\,\tilde{x}(i\beta)\Big(-\frac{d^2}{d\beta^2}\Big)\tilde{x}(i\beta), $$ por lo que aparentemente podríamos haber conseguido obtener una amortiguación exponencial al menos a lo largo del $c$ contorno. ¿Qué hemos ganado? Para llevarlo a la forma deseada desplazamos la variable de integración, $\beta\rightarrow \beta'=\beta+T$ , $$ \exp -\frac{1}{\hbar}\int_0^Td\beta'\,\tilde{x}(i\beta'-iT)\Big(-\frac{d^2}{d{\beta'}^2}\Big)\tilde{x}(i\beta'-iT) $$ Esto parece que podría tener la forma deseada, pero debemos recordar que el $\tilde{x}(i\beta)$ ya está determinada por la continuación analítica de $\tilde{x}(t)$ y como consecuencia de ello viene determinada por la continuación analítica de la base $\psi_n(t)$ . Esta base a lo largo del $\beta$ ya no es periódico, por lo que hemos perdido las buenas condiciones de contorno en $\tilde{x}(i\beta)$ . En particular, aunque $\tilde{x}(0)=0$ tenemos $\tilde{x}(iT)\neq0$ por lo que ni siquiera podemos integrar por partes sin recoger contribuciones de frontera. Se podría intentar redefinir los campos de la integral de trayectoria, $\tilde{x}(i\beta)\rightarrow \tilde{x}'(\beta)$ y luego expandir la serie de Fourier $\tilde{x}'(\beta)$ pero entonces perdemos la conexión con el teorema de Cauchy.
Podría seguir, pero creo que ya se ha llegado a una conclusión: continuar analíticamente el tiempo en el integrando de la acción es genéricamente una mala idea (al menos yo no le veo sentido tal y como están las cosas), y es mucho más eficiente continuar analíticamente el campo completo $\tilde{x}(t)$ como hicimos anteriormente. (Arriba continuamos el $a_n$ lo que equivale a continuar $\tilde{x}(t)$ .) No digo que esté mal, sólo que es ineficaz y hay que esforzarse mucho más para encontrarle sentido.
Quiero hacer hincapié en un punto: Las integrales gaussianas con exponenciales oscilantes están perfectamente bien definidas. No es necesario que Wick rote a tiempo imaginario en ningún punto del cálculo.
También asumo (tal vez ingenuamente) que no hay polo en molestarnos por $\mathcal{L}(z)$ . El teorema de Cauchy nos permite escribir $$ \int_{L_R}dz\,\mathcal{L}(z)+\int_{L_I}dz\,\mathcal{L}(z)+\int_{C}dz\,\mathcal{L}(z)=0 $$ Vayamos uno por uno. Para $L_R$ Parametrizo $z(t)=t$ $$ \int_{L_R}dz\,\mathcal{L}(z)=\int_0^Tdt\,\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-V(x)\big\} $$ Para $L_I$ Tengo $z(\beta)=i\beta$ $$ \int_{L_I}dz\,\mathcal{L}(z)=-i\int_0^Td\beta\,\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{id\beta}\right)^2-V(x)\big\} $$ para $C$ Tengo $z(\phi)=Te^{i\phi}$ $$ \int_{C}dz\,\mathcal{L}(z)=iT\int_0^{\pi/2}d\phi\,e^{i\phi}\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{iTe^{i\phi}d\phi}\right)^2-V(x)\big\} $$ por el teorema de Cauchy entonces $$ \int_0^Tdt\,\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-V(x)\big\}=i\int_0^Td\beta\,\big\{-\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{d\beta}\right)^2-V(x)\big\}-\int_{C}dz\,\mathcal{L}(z) $$ si introduzco esto en la ruta integral obtengo $$ \int D[x]\,e^{i\int_0^Tdt\,\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-V(x)\big\}} $$ $$ =\int D[x]\,e^{\int_0^Td\beta\,\big\{\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{d\beta}\right)^2+V(x)\big\}}e^{-i\int_{C}dz\,\mathcal{L}(z)} $$ y ves el problema aquí. Me falta un signo menos en la primera exponencial, y la segunda no debería estar ahí. Quizá pueda obtener la expresión correcta manipulando la segunda exponencial, pero ahora mismo no veo cómo. ¿Alguien ve mis errores?
