Integración con respecto a la medida de Lebesgue

Question

He hecho un curso de teoría de la medida, he aprendido todos los teoremas límites importantes, la construcción de la integral de Lebesgue, etc., pero lo que nunca he encontrado es cómo calcular una integral de Lebesgue con respecto a una medida concreta. Es decir, cómo la definición de la medida con respecto a la cual integramos entra en juego al calcular la integral. En $\mathbb{R}$ Consideremos, por ejemplo, la medida de Lebesgue de Borel $\lambda((a, b])=b - a$ o la medida de recuento $\nu(A)=|A|$ (si $A$ es un conjunto medible). ¿Cómo se calcula la integral de una función $f$ con respecto a estas medidas y dónde y cómo entran en juego sus definiciones?

Soy consciente de que en intervalos compactos integrar una función $f$ con respecto a la medida de Borel-Lebesgue es lo mismo que calcular la integral de Riemann, pero no me refiero a eso. Me refiero a cómo utilizar la definición específica de tu medida en la integral (de Lebesgue) para calcular esa integral sin recurrir a la Integral de Riemann (que de todas formas sólo es posible si tu medida es la de Borel-Lebesgue).

Además, la medida de Borel-Lebesgue se define para intervalos, pero ¿cómo se calcula la integral respecto a la medida de Borel-Lebesgue para un conjunto arbitrario medible?

Answer 1

Un enfoque consiste en aproximar la función que se desea integrar con una secuencia de funciones simples y, a continuación, aplicar el teorema de convergencia monótona.

Dada una función medible positiva $f$ es fácil construir una secuencia creciente $s_n$ de funciones simples que converge puntualmente a $f$ . Por ejemplo

• $s_0$ podría ser $\mathbf 1_{0 \leq f \leq 1}$
• $s_1$ podría ser $\tfrac 1 2 \times \mathbf 1_{0 \leq f \leq \tfrac 1 2} + \mathbf 1_{\tfrac 1 2 < f \leq 1} + \tfrac 3 2 \times \mathbf 1_{1 < f \leq \tfrac 3 2} + 2 \times \mathbf 1_{\tfrac 3 2 < f \leq 2} $

... y así sucesivamente.

$\int f = \lim_{n \to \infty} \int s_n$ por el teorema de convergencia monótona.

La integral de cualquier función simple $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{E_i}$ puede expresarse directamente en términos de las medidas de Lebesgue de los conjuntos $E_i$ . Como se ha explicado anteriormente, la integral de cualquier función medible $f$ puede expresarse como el límite de las integrales de funciones simples. Así hemos descrito la integral de $f$ en términos de medidas de Lebesgue de conjuntos, que es lo que queremos.

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Con respecto a tu segunda pregunta, primero observa que si sabes calcular la medida de Lebesgue de un intervalo, entonces también sabes calcular la medida de Lebesgue de un conjunto abierto o de un conjunto cerrado. Esto es así porque todo conjunto abierto es la unión disjunta de una colección finita o contable de intervalos abiertos, y todo conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto.

Para calcular la medida de Lebesgue de un conjunto medible arbitrario $E$ podemos apelar a la regularidad de la medida de Lebesgue. Esto nos dice que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un conjunto cerrado $F \subset E$ y un conjunto abierto $U \supset E$ tal que $m(U - F) < \epsilon$ .

En la práctica, si se quiere aplicar esto, se puede construir una secuencia de conjuntos cerrados anidados $F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset \dots$ con todos $F_n \subset E$ y una secuencia de conjuntos abiertos anidados $U_1 \supset U_2 \supset U_3 \supset \dots $ con todos $U_n \supset E$ tal que $m(U_n - F_n) < \tfrac 1 n$ . Entonces $m(E) = \lim_{n \to \infty} F_n = \lim_{n \to \infty} U_n$ .

Así, la medida de un conjunto arbitrario es el límite de una secuencia de medidas de conjuntos abiertos/cerrados, que a su vez viene dada en términos de medidas de intervalos.