En tres dimensiones, la conocida acción de Lorentz Chern-Simons es $$ S_{\text{CS}}=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\bigg(\omega_{\mu}{}^{ab}R_{\nu\rho ab}+\frac{2}{3}\omega_{\mu a}{}^{b}\omega_{\nu b}{}^{c}\omega_{\rho c}{}^{a}\bigg) \tag{1} $$ donde $\omega_{\mu ab }$ es la conexión de espín de Lorentz y $R_{\mu\nu ab}$ es su intensidad de campo correspondiente, $$ R_{\mu\nu ab}=\partial_{\mu}\omega_{\nu ab}-\partial_{\nu}\omega_{\mu ab}+\omega_{\mu a}{}^{f}\omega_{\nu fb}-\omega_{\nu a}{}^{f}\omega_{\mu fb}. \tag{2} $$ Me gustaría obtener la ecuación de movimiento correspondiente a una variación arbitraria del vielbein $e_{a}{}^{\mu}$ que está relacionada con la conexión de espín a través de la condición de torsión cero (o, de forma equivalente, la condición de compatibilidad de Vielbein). Siguiendo las instrucciones de la nota a pie de página de la página 438 de [1] (página 30 desde la portada), varío (1) con respecto a la conexión de espín para obtener, $$ \delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}R_{\nu\rho}{}^{ab}\delta\omega_{\mu ab}.\tag{3} $$ Ahora variando la condición de compatibilidad de vielbein, podemos obtener $\delta\omega_{\mu ab}$ en términos de una variación en el vielbein, \begin{align} 0=&\nabla_{\mu}e_{\nu}{}_a=\partial_{\mu}e_{\nu a}+\omega_{\mu ab}e_{\nu}{}^{b}-\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}e_{\rho a}\implies \delta\omega_{\mu ab}=e_{b}{}^{\nu}\big(\delta\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}e_{\rho a}-\nabla_{\mu}\delta e_{\nu a}\big). \tag{4} \end{align} Después de insertar (4) en (3), el segundo término de (4) no contribuye porque después de integrar por partes, tenemos un término de la forma $\varepsilon^{\mu\nu\rho}(\nabla_{\mu}R_{\nu\rho}{}^{ab})e_{b}{}^{\sigma}\delta e_{\sigma a}$ que desaparece en virtud de la segunda identidad de Bianchi en $R$ . Por lo tanto, la variación total es $$ \delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}R_{\nu\rho\alpha}{}^{\sigma}\delta\Gamma_{\mu\sigma}^{\alpha}\tag{5} $$ que ahora puede expresarse completamente en términos de la variación de la métrica. Todo lo que he hecho hasta ahora ha seguido las instrucciones de la mencionada nota a pie de página. Los autores afirman ahora que al expresar $\delta\Gamma_{\mu\sigma}{}^{\alpha}$ en términos de $\delta g_{\mu\nu}$ se puede demostrar que el resultado es $$ \delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3xC^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\tag{6} $$ donde $C^{\mu\nu}$ es el tensor Cotton definido por $$ C^{\mu\nu}=\varepsilon^{\mu\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\widetilde{R}_{\beta}{}^{\nu},\qquad \widetilde{R}_{\alpha\beta}=R_{\alpha\beta}-\frac{1}{4}g_{\alpha\beta}R, \tag{7} $$ ( $\widetilde{R}$ es el tensor de Schouten). Sin embargo, a pesar de los comentarios de los autores no soy capaz de llegar a (6) a partir de (5). La razón es la siguiente. Al aplicar la conocida fórmula $$ \delta\Gamma_{\mu\sigma}^{\alpha}=\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\big(\nabla_{\mu}\delta g_{\beta\sigma}+\nabla_{\sigma}\delta g_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}\delta g_{\mu\sigma}\big) \tag{8} $$ a (5) e integrando los tres términos por partes, el primero desaparece debido de nuevo a la identidad de Bianchi, mientras que el segundo es igual al tercero. Esto me lleva al siguiente resultado, $$ \delta[S_{\text{CS}}]=\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\nabla^{\beta}R_{\nu\rho\beta}{}^{\sigma}\delta g_{\mu\sigma}\tag{9} $$ que, tras utilizar la identidad $$ \nabla^{\beta}R_{\nu\rho\beta\sigma}=\nabla_{\nu}R_{\sigma\rho}-\nabla_{\rho}R_{\sigma\nu},\tag{10} $$ se reduce a $$ \delta[S_{\text{CS}}]=2\int\text{d}^3x\varepsilon^{\mu\nu\rho}\nabla_{\nu}R_{\rho}{}^{\sigma}\delta g_{\mu\sigma}\tag{11}. $$ También se habría llegado a la misma conclusión si se hubiera utilizado la observación de que en D=3, $$ R_{\alpha\beta\gamma\delta}=g_{\alpha\gamma}\widetilde{R}_{\beta\delta}+g_{\beta\delta}\widetilde{R}_{\alpha\gamma}-g_{\alpha\delta}\widetilde{R}_{\beta\gamma}-g_{\beta\gamma}\widetilde{R}_{\alpha\delta}. \tag{12} $$ El integrando en (11) claramente no es equivalente al de (6), los términos proporcionales al escalar de Ricci no son aparentes. ¿Qué ha fallado?
[1]: S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Teorías gauge topológicamente masivas (1982).
