Mira los intervalos $$A_n = \left[-\frac{1}{n},\,\,\,\,\, 1+\frac{1}{n}\right]$$ Bueno, claramente "convergen" a $$A=\mathrm{''lim''}A_n=\left[0,\,1\right]$$ Por desgracia, no todas las secuencias de conjuntos convergen tan "limpiamente" a un "límite". Mira este ejemplo:
$$ B_n=\begin{cases} \left[0,\,\,1-\frac{1}{n}\right] & \mbox{if $n$ is odd} \\ \left[0,\,\,2+\frac{1}{n}\right] & \mbox{if $n$ is even} \\ \end{cases} $$
En este caso, hay dos subsecuencias "convergentes" a $\left[0,1\right]$ y $[0,2]$ . Estos intervalos $\left[0,1\right]$ y $\left[0,2\right]$ son los $\liminf$ y $\limsup$ .
Definición de $\limsup$ y $\liminf$
Una forma de motivar esta definición de $\liminf$ y $\limsup$ es la siguiente. Cuando una secuencia de conjuntos es aumentando (es decir, $A_{n+1}\supset A_n$ ), el "límite" de la secuencia es intuitivamente la unión de todos los conjuntos: $\mbox{''lim''}A_n=\bigcup_n A_n$ (porque si un elemento está en al menos un conjunto de la secuencia, también está en todos los conjuntos posteriores). Cuando la secuencia es decreciente ( $A_{n+1}\subset A_n$ ), el límite es la intersección de todos los conjuntos: $\bigcap_n A_n$ (si un elemento no está dentro de un conjunto, no estará en todos los conjuntos siguientes).
Ahora, la secuencia $S_k=\bigcap_{n\geq k} A_n$ es siempre creciente. Es una especie de "desacumulación inversa": $S_k$ es el conjunto de "todos los elementos que están dentro de $A_k$ y $A_{k+1}$ y ...". Lo que ganamos al considerar la $S_k$ secuencia es que si un elemento no está, digamos, en $A_3$ y $A_7$ pero sí en todos los demás $A_n$ para $n\neq3 \mbox{ or } 7$ este elemento entrará en $S_8$ (y en todos los demás $S_k$ para $k\geq 8$ ya que el $S_k$ aumentan).
Desde el $S_k$ están aumentando, queremos tomar su unión: $$S = \bigcup_k S_k = \bigcup_k \bigcap_{n\geq k} A_n$$ y llamarlo algún tipo de límite. Lo llamamos inferior porque es muy restrictivo: para que un elemento esté en él, tiene que estar en todos de la $A_k$ (excepto como máximo un número finito, como el $A_3$ y $A_7$ en el ejemplo anterior)
En cuanto al límite superior, podemos definir la sucesión siempre decreciente $T_k=\bigcup_{n\geq k} A_n$ . Toma, $T_k$ es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a algún $A_n$ con $n\geq k$ . Si un elemento pertenece sólo a unos pocos (número finito de) $A_n$ digamos, $A_5$ y $A_9$ no entrará en $T_{10}$ . ¿Por qué? Pues porque $T_{10}$ es el conjunto de elementos que aparecen en algún lugar de $A_{10}$ adelante. Este elemento no volverá a aparecer, en ningún $T_k$ con $k\geq 10$ -- es por eso que el $T_k$ son disminuyendo . Desde el $T_k$ son decrecientes, podemos tomar su intersección: $$\bigcap_k T_k = \bigcap_k \bigcup_{n\geq k} A_n$$ y llamarlo límite superior .
Si se pregunta por qué la secuencia $S_k=\bigcap_{n\geq k} A_n$ es aumentando (es una secuencia de intersecciones ¿no debería ser disminuyendo ??), observe que cada vez que tomamos la siguiente $k$ somos eliminar un $A_n$ de la intersección, por lo que estamos tomando fuera una condición necesaria para que un elemento pertenezca al siguiente $S_k$ . Lo estamos haciendo más fácil para que un elemento esté en el siguiente $S_k$ . El dual de este argumento explica por qué la secuencia $T_k=\bigcup_{n\geq k} A_n$ es decreciente, a pesar de ser una secuencia de uniones. Cada vez que tomamos la siguiente $k$ estamos eliminando una condición suficiente para que un elemento pertenezca al siguiente $T_k$ por lo que es más duro para entrar en este próximo $T_k$ .
Espero que esto explique las definiciones de $\limsup$ y $\liminf$
Su ejemplo
Su ejemplo es incorrecto. Tenemos $$T_k = \bigcup_{n\geq k} E_n = \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{1}{n}\right\} = \left\{\frac{1}{k},\frac{1}{k+1},\cdots\right\}$$ La intersección: $$\limsup E_n = \bigcap_k \left\{\frac{1}{k},\frac{1}{k+1},\cdots\right\}=\emptyset$$ es el conjunto vacío, porque ningún elemento pertenece a todos de la $T_k$ . La secuencia $T_k$ pierde un elemento cada vez, y "en el límite" ya no tiene más elementos.
El límite inferior también está vacío (obviamente, porque debe estar contenido en el superior, que está vacío, pero calculémoslo): $$S_k = \bigcap_{n\geq k} E_n = \bigcap_{n\geq k} \left\{\frac{1}{n}\right\} = \emptyset$$ Esta vez, el $S_k$ son vacías, por lo que su unión será vacía: $$\liminf E_n = \bigcup_k \emptyset=\emptyset$$
Ahora, si defines esta secuencia: $$F_n = \left\{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \cdots, \frac{1}{n}\right\}$$ puedes demostrar que ambos límites (superior e inferior) lo son: $$F=\liminf F_n = \limsup F_n = \left\{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \cdots\right\}$$
