¿Es siempre posible reordenar una ecuación de forma deseable?

Question

Obviamente podemos reordenar para $x$ en un polinomio de grado 2.

Sea $y=ax^2+bx+c$

entonces

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}$

Del mismo modo, para $y=ax^3+bx^2+cx+d$ Aunque es muy difícil y largo, al parecer también existe una manera de hacer que $x$ el tema.

Ahora me pregunto si siempre es posible hacer $x$ el tema cuando $y=p_n(x)$ donde $p_n(x)$ es cualquier polinomio de grado $n$ .

En caso afirmativo, ¿siempre es posible hacer $x$ el tema cuando $y=f(x)$ donde $f(x)$ es cualquier función de $x$ .

Y por último, ¿hay siempre una manera exacta de obtener una expresión deseada en un lado de una ecuación, siendo obviamente todavía equivalente a la inicial. Si esto suena vago, aquí está la ecuación que me hizo pensar en esto:

$y^3+x^3=3xy$

¿hay alguna forma de hacer $x$ ¿el tema?

Answer 1

Tienes que definir qué ecuaciones te importan y te convienen, pero parece probable que la respuesta sea no. Es de suponer que estás familiarizado con las soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas. Tu ecuación es cúbica, así que puedes introducirla en La fórmula de Cardano y obtener $x=$ cosas. Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver, pero es tal el lío que la mayoría de la gente ignora el hecho. Sabemos que no hay solución general para los polinomios quínticos. Las ecuaciones que mezclan exponenciales y polinomios tampoco suelen poder resolverse para una variable. Nos preguntan mucho por ellas y solemos recomendar métodos numéricos para encontrar una solución aproximada.

Answer 2

En general, no se puede esperar que se pueda resolver para $x$ . Por ejemplo $$ x^5-4x+2=0. $$ Se puede demostrar fácilmente, utilizando el cálculo (o simplemente trazando) que tiene tres raíces reales. Uno puede, sin embargo, pruebe utilizando Teoría de Galois que no existe ninguna fórmula (es decir sumas, productos, potencias, raíces) que exprese las raíces en términos de los coeficientes.

Y lo anterior es sólo para ecuaciones polinómicas. Hay muchas otras ecuaciones, como trascendental en los que no existe una solución de forma cerrada. Ejemplo: $x=e^x$ .