Prueba de los límites de la teoría de conjuntos

Question

Estoy intentando resolver este problema pero hay algo inseguro en mi solución.

Dado

$lim_{n \rightarrow \infty}supA = \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{k=n}^{\infty}A_{k}$

$lim_{n \rightarrow \infty}infA = \cup_{n=1}^{\infty} \cap_{k=n}^{\infty}A_{k}$

En $A_{k}$ es monotónicamente creciente, demuestre que $lim_{n=\infty}An = \cup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ mostrando $lim_{n \rightarrow \infty}supA = lim_{n \rightarrow \infty}infA$

Para demostrarlo lo hice,

$lim_{n \rightarrow \infty}supA = \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{k=n}^{\infty}A_{k} = \cap_{n=1}^{\infty} \{(A_{n} \cup\dots\cup A_\infty)\}= (A_{1} \cup\dots\cup A_\infty)\cap(A_{2} \cup\dots\cup A_\infty)\cap \dots \cap A_{\infty} = A_{\infty} \cup \dots \cup A_{\infty} = A_{\infty}$

$lim_{n \rightarrow \infty}infA = \cup_{n=1}^{\infty} \cap_{k=n}^{\infty}A_{k} = \cup_{n=1}^{\infty} \{(A_{n} \cap\dots\cap A_\infty)\}= \cup_{n=1}^{\infty} \{(A_{n} )\}= A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{\infty} = A_{\infty}$

Así, $lim_{n \rightarrow \infty}supA = lim_{n \rightarrow \infty}infA = \cup_{n=1}^{\infty}A_{n} = A_{\infty}$

Sin embargo, aunque esto tiene sentido, no parece que esté matemáticamente demostrado. ¿Está bien esta solución? ¿O tengo que ser matemáticamente más riguroso? ¿Cómo debo hacerlo?

Answer 1

Desde $\{A_n\}_{n\geq 1}$ es creciente, definiendo $B_n=\cup_{k\geq n} A_k$ tenemos que $$B_1=B_2=B_3=\dots$$ Por lo tanto, $$\limsup A_n := \cap_{n\geq 1}\cup_{k\geq n} A_k = \cap_{n\geq 1} B_n = B_1 = \cup_{k\geq 1} A_k =: \lim A_n \; .$$ Por otro lado, $\cap_{k\geq n} A_k=A_n$ porque $\{A_n\}_{n\geq 1}$ está aumentando. Por lo tanto, $$\liminf A_n := \cup_{n\geq 1}\cap_{k\geq n} A_k = \cup_{n\geq 1} A_n =: \lim A_n\; .$$