Límite de $2^{1/n}$ como $n\to\infty$ es 1

Question

¿Cómo puedo demostrarlo?

$\lim \limits_{n\to \infty}2^{1/n}=1$

Muchas gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que para $a\gt 0$ , $$a^b = e^{b\ln a}.$$ Así que $$\lim_{n\to\infty}2^{1/n} = \lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln 2}.$$ Como la exponencial es continua, tenemos $$\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln 2} = e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln 2}.$$

¿Puede calcular $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln 2}{n}$ ?

Answer 2

Utilizar el teorema del binomio para exponentes enteros:

¿Puedes ver que $(1+\frac 1 n)^n > 2>1$

Tomar la enésima raíz, dar:

$(1+\frac 1 n) > 2^{\frac 1 n} >1$

Answer 3

He aquí algunas pruebas diferentes que no utilizan $e$ o $\log$ y puede considerarse completamente elemental.

Prueba 1)

Utilizamos el siguiente teorema:

Si $a_n \gt 0$ y $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n} = L$

Se trata de un teorema estándar, cuya demostración puede encontrarse en casi cualquier libro de texto. También puedes encontrar una demostración en mi respuesta aquí: Demuestre que este límite es igual a $\liminf a_{n}^{1/n}$ para términos positivos.

Aplicar el teorema a la secuencia $a_n = 2$ .

Prueba 2)

Utilizamos el $\text{AM} \ge \text{GM}$ desigualdad en $n-1$ unos y otros $2$ .

$$\frac{1 + 1 + \dots + 1 + 2}{n} \ge 2^{1/n}$$

$$ \frac{n+1}{n} \ge 2^{1/n}$$

Así pues, tenemos

$$ 1 + \frac{1}{n} \ge 2^{1/n} \ge 1$$

así que por el teorema de Squeeze, $\lim_{n \to \infty} 2^{1/n} = 1$ .

Prueba 3)

Podemos utilizar la desigualdad de Bernouli (esencialmente similar a la respuesta de Sivaram) para demostrar que

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \ge 1 + \frac{1}{n} \times n = 2$$

y obtenemos desigualdades similares a la demostración en 2).

Prueba 4)

La secuencia $a_n = 2^{1/n}$ está acotada por debajo (por $1$ ) y montonicamente decreciente.

Por lo tanto, es convergente decir $L$ . Desde $a_{2n}$ también converge a $L$ tenemos que $L = \sqrt{L}$ como $2^{1/2n} = \sqrt{2^{1/n}}$ . Así que $L = 0$ o $L = 1$ . Dado que el límite no es inferior a $1$ ( $2^{1/n} \ge 1$ ), el límite es $1$ .

Prueba 5)

Para $n \gt 2$ tenemos que $1 \le 2^{1/n} \le n^{1/n}$ .

Ahora utiliza el hecho de que $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$ .

Una prueba elemental de ello puede encontrarse aquí: https://math.stackexchange.com/a/115825/1102 . Cualquier prueba para $n^{1/n}$ se convierte ahora en una prueba de $2^{1/n}$ . La prueba 1) anterior también puede utilizarse para $n^{1/n}$ .

Prueba 6)

Utilizar la combinatoria.

El número de $n$ números de dígitos en base- $n+1$ es $(n+1)^n$ (teniendo en cuenta los ceros a la izquierda). El número de $n$ cifras números en base- $n$ es $n^n$ . Podemos demostrar que $(n+1)^n \ge 2 \times n^n$ considera la base $n$ números. Sustituya la última cifra por $n$ . Usted obtiene una base- $n+1$ $n$ número de dígitos. Contar la base- $n$ números (que también son base- $n+1$ números) y los números "último dígito modificado", nos da la desigualdad.

Esta desigualdad implica que $1 + \frac{1}{n} \ge 2^{1/n}$ y se puede utilizar para dar una prueba utilizando el teorema de squeeze, similar a las pruebas 2 y 3.

Answer 4

CONSEJO : Utiliza el teorema de squeeze.

Desde $1 < 2$ tenemos $1 = 1^{1/n} < 2^{1/n}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Para acotar el límite desde arriba, obsérvese que $1 + n \epsilon < \left( 1 + \epsilon \right)^n$ .

Por lo tanto, dado cualquier $\epsilon >0$ , $\forall n > \displaystyle 1/{\epsilon}$ tenemos $2 < 1 + n \epsilon < \left(1 + \epsilon \right)^n$ y por lo tanto $2^{1/n} < 1 + \epsilon$ .